Mathématiques · Terminale
Variables aléatoires et sommes
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les sommes de variables aléatoires permettent de calculer espérance et variance d’un total sans déterminer toute sa loi, notamment dans les successions d’épreuves indépendantes.Méthode pas à pas
🎲Calculer une espérance
1Décomposer la variable étudiée en une somme de variables plus simples.
2Utiliser la linéarité : E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX+b)=aE(X)+b.
3Calculer séparément les espérances puis les additionner.
4Interpréter l’espérance comme une valeur moyenne théorique, pas comme un résultat certain.
📊Calculer une variance
5Vérifier que les variables dont on somme les variances sont indépendantes dans le modèle.
6Utiliser V(X+Y)=V(X)+V(Y) pour des variables indépendantes.
7Utiliser V(aX+b)=a²V(X).
8Prendre la racine carrée à la fin pour obtenir l’écart-type.
Astuce : La linéarité de l’espérance ne demande pas d’indépendance ; l’addition des variances, elle, en demande dans le cadre étudié.
Exemple expliqué
📝 Un joueur participe à 20 parties indépendantes. Son gain X_i à la partie i a pour espérance 1,50 € et variance 4. Calculer l’espérance et l’écart-type du gain total S.
S=X_1+…+X_20, donc E(S)=20×1,5=30.
Les parties sont indépendantes : V(S)=20×4=80.
σ(S)=√80≈8,94.
Conclusion : Le gain total moyen est 30 € et son écart-type est environ 8,94 €.
À retenir
🎯Espérance
- •E(X)=Σ x_iP(X=x_i) pour une variable finie.
- •E(X+Y)=E(X)+E(Y), quelles que soient les variables finies X et Y.
- •E(aX+b)=aE(X)+b.
📊Variance et écart-type
- •V(X)=E(X²)−[E(X)]² ; σ(X)=√V(X).
- •V(aX+b)=a²V(X) : ajouter une constante ne change pas la dispersion.
- •Si X et Y sont indépendantes dans le modèle, V(X+Y)=V(X)+V(Y).
➕Sommes
- •Pour S_n=X_1+…+X_n : E(S_n)=ΣE(X_i).
- •Si les X_i sont indépendantes : V(S_n)=ΣV(X_i).
- •Le nombre de succès binomial est une somme de variables de Bernoulli.
🧪Échantillon et moyenne
- •Un échantillon de taille n est formé de variables X_1,…,X_n indépendantes et de même loi.
- •M_n=(X_1+…+X_n)/n.
- •Si E(X_i)=μ et V(X_i)=V, alors E(M_n)=μ et V(M_n)=V/n.
💡Interprétation
- •L’espérance d’un gain est le gain moyen sur un grand nombre de répétitions.
- •La variance mesure la dispersion quadratique autour de l’espérance.
- •L’écart-type a la même unité que la variable.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Exiger l’indépendance pour additionner les espérances : elle n’est pas nécessaire.
- • Additionner les écarts-types au lieu des variances.
- • Oublier le carré dans V(aX+b)=a²V(X).
- • Interpréter l’espérance comme la valeur forcément obtenue.