Mathématiques · Terminale
Probabilités conditionnelles et indépendance
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les probabilités conditionnelles décrivent l’information disponible après la réalisation d’un événement et l’indépendance formalise l’absence d’influence entre événements.Méthode pas à pas
🌳Exploiter un arbre pondéré
1Placer les probabilités de première étape, puis les probabilités conditionnelles sur les branches suivantes.
2Compléter chaque nœud : la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1.
3Multiplier le long d’un chemin pour obtenir une intersection.
4Additionner les chemins compatibles pour obtenir une probabilité totale.
🔄Inverser une condition
5Calculer d’abord l’intersection P(A∩B)=P(A)P_A(B).
6Calculer P(B) avec les probabilités totales si elle n’est pas donnée.
7Appliquer P_B(A)=P(A∩B)/P(B).
8Interpréter clairement la population de référence.
Astuce : Dans P_A(B), l’événement écrit en indice est celui que l’on sait réalisé : il change la population de référence.
Exemple expliqué
📝 Une maladie touche 2 % d’une population. Un test est positif chez 95 % des malades et 4 % des non-malades. Calculer la probabilité d’être malade sachant le test positif.
P(M∩T)=0,02×0,95=0,019.
P(T)=0,02×0,95+0,98×0,04=0,0582.
P_T(M)=0,019/0,0582≈0,326.
Conclusion : Environ 32,6 % des personnes testées positives sont réellement malades.
À retenir
🎯Probabilité conditionnelle
- •Pour P(A)>0 : P_A(B)=P(A∩B)/P(A).
- •Donc P(A∩B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A).
- •P_A(B̄)=1−P_A(B).
➕Probabilités totales
- •Si A_1,…,A_n forment une partition de Ω, alors P(B)=Σ P(A_i)P_{A_i}(B).
- •Avec A et son complémentaire : P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_{Ā}(B).
- •Cette formule additionne les différents chemins menant à B.
🔗Indépendance
- •A et B indépendants ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B).
- •Si P(A)>0, cela équivaut à P_A(B)=P(B).
- •L’indépendance n’est pas l’incompatibilité : deux événements indépendants peuvent se produire ensemble.
🌳Arbres
- •Les branches issues d’un même nœud totalisent 1.
- •Une probabilité de chemin est un produit.
- •Une probabilité regroupant plusieurs chemins disjoints est une somme.
📊Tableaux et fréquences
- •Une probabilité conditionnelle est une proportion dans une sous-population.
- •Les tableaux à double entrée donnent intersections, marges et conditionnelles.
- •Toujours nommer les événements avant de calculer.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Confondre P_A(B) et P_B(A).
- • Additionner les branches d’un chemin au lieu de les multiplier.
- • Confondre indépendance et incompatibilité.
- • Arrondir les probabilités intermédiaires trop tôt.