Mathématiques · Terminale
Combinatoire et dénombrement
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La combinatoire permet de compter exactement des objets finis en choisissant la bonne règle selon que l’ordre et les répétitions comptent ou non.Méthode pas à pas
🧭Choisir le bon modèle
1Décrire précisément un résultat possible : liste ordonnée, permutation ou sous-ensemble.
2Demander si l’ordre modifie le résultat et si un même élément peut être repris.
3Utiliser le principe additif pour des cas incompatibles et le principe multiplicatif pour des choix successifs.
4Terminer par une phrase qui explique ce que le nombre calculé représente.
🔎Démontrer une identité
5Donner une interprétation concrète aux deux membres de l’égalité.
6Compter le même ensemble de deux façons différentes.
7Ou utiliser les relations de Pascal et la symétrie des coefficients binomiaux.
Astuce : Avant toute formule, écris une phrase : « je compte des listes », « je choisis un groupe » ou « je range tous les éléments ».
Exemple expliqué
📝 Une classe de 18 élèves choisit un bureau composé d’une présidente, d’une secrétaire et d’une trésorière. Combien de bureaux sont possibles ?
Les trois rôles sont différents : l’ordre des personnes compte.
On choisit 3 personnes sans répétition parmi 18 : 18 × 17 × 16.
On obtient 4 896 bureaux possibles. Pour un simple groupe de 3 personnes, on aurait utilisé C(18,3).
Conclusion : Le bon résultat est 4 896, car changer les rôles produit un autre bureau.
À retenir
➕Principes de base
- •Cas disjoints : nombre total = somme des nombres de cas.
- •Choix successifs : nombre total = produit du nombre de choix à chaque étape.
- •Produit cartésien : |A × B| = |A| × |B| ; plus généralement |Aᵏ| = |A|ᵏ.
🔢Listes et permutations
- •Nombre de k-listes d’éléments d’un ensemble à n éléments : nᵏ.
- •Nombre de k-listes sans répétition : n(n−1)…(n−k+1) = n!/(n−k)!.
- •Nombre de permutations de n éléments : n! avec 0! = 1.
🧩Combinaisons
- •Choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l’ordre : C(n,k) = n!/[k!(n−k)!].
- •C(n,0) = C(n,n) = 1 et C(n,k) = C(n,n−k).
- •Relation de Pascal : C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1).
✨Binôme de Newton
- •(a+b)ⁿ = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n−k} bᵏ.
- •La somme des coefficients d’une ligne vaut 2ⁿ : Σ C(n,k) = 2ⁿ.
- •Le coefficient du terme a^{n−k}bᵏ est C(n,k).
🎯Ce qu’il faut savoir faire
- •Dénombrer des mots, codes, chemins, tirages ou groupes.
- •Reconnaître si un ordre différent donne ou non un nouveau résultat.
- •Utiliser une identité combinatoire ou le binôme de Newton dans un calcul.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Utiliser C(n,k) alors que les rôles sont distincts et que l’ordre compte.
- • Additionner des choix successifs au lieu de les multiplier.
- • Compter deux fois le même objet en découpant mal les cas.
- • Oublier que 0! = 1 ou que C(n,k) n’existe que pour 0 ≤ k ≤ n.