Mathématiques · Terminale
Loi binomiale
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.Méthode pas à pas
📦Reconnaître une loi binomiale
1Vérifier qu’il y a un nombre fixé n d’épreuves.
2Chaque épreuve possède deux issues : succès ou échec.
3La probabilité de succès p reste constante et les épreuves sont indépendantes.
4Définir X comme le nombre de succès et écrire X suit B(n,p).
🧮Calculer une probabilité
5Pour exactement k succès : utiliser P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}.
6Pour « au plus » ou « au moins », traduire soigneusement l’événement.
7Utiliser une somme, la calculatrice ou le complémentaire lorsque c’est plus simple.
8Conserver suffisamment de décimales jusqu’à la réponse finale.
Astuce : « Au moins un succès » se calcule presque toujours plus vite par 1−P(X=0).
Exemple expliqué
📝 Une pièce donne pile avec probabilité 0,3. On la lance 10 fois. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 2 piles.
Les lancers sont indépendants, p=0,3 et n=10 : X suit B(10,0,3).
P(X=2)=C(10,2)×0,3²×0,7^8.
P(X=2)≈0,2335.
Conclusion : La probabilité est d’environ 23,4 %.
À retenir
🎯Épreuve de Bernoulli
- •Deux issues : succès de probabilité p et échec de probabilité 1−p.
- •La variable de Bernoulli vaut 1 en cas de succès et 0 sinon.
- •Son espérance vaut p et sa variance p(1−p).
🔁Schéma de Bernoulli
- •Répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p.
- •La probabilité d’une liste précise de résultats est le produit des probabilités de ses composantes.
- •Le nombre de listes contenant k succès est C(n,k).
📦Loi binomiale
- •Si X suit B(n,p), alors P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}, pour k=0,…,n.
- •E(X)=np ; V(X)=np(1−p) ; σ(X)=√[np(1−p)].
- •La somme des probabilités P(X=k) vaut 1.
🗣️Traductions usuelles
- •Exactement k : X=k ; au plus k : X≤k ; au moins k : X≥k.
- •Strictement plus de k : X>k ; entre a et b inclus : a≤X≤b.
- •P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)ⁿ.
🎯Seuils
- •On peut chercher le plus petit entier k tel que P(X>k)≤α.
- •La calculatrice fournit les probabilités cumulées, mais l’événement doit être traduit correctement.
- •Une interprétation en contexte est attendue après le calcul.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Utiliser une loi binomiale alors que p change d’une épreuve à l’autre ou que les épreuves ne sont pas indépendantes.
- • Oublier le coefficient C(n,k).
- • Confondre P(X≥k) et 1−P(X≤k). La bonne complémentarité est P(X≥k)=1−P(X≤k−1).
- • Mélanger variance et écart-type.