Mathématiques · Terminale
Concentration et loi des grands nombres
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les inégalités de concentration quantifient la dispersion autour de l’espérance et conduisent à la loi des grands nombres pour les moyennes d’échantillons.Méthode pas à pas
📉Appliquer Bienaymé-Tchebychev
1Identifier l’espérance μ et la variance V de la variable X.
2Traduire l’écart demandé sous la forme |X−μ|≥δ avec δ>0.
3Appliquer P(|X−μ|≥δ)≤V/δ².
4Pour une probabilité d’être proche, utiliser le complémentaire.
🧪Déterminer une taille d’échantillon
5Pour M_n, utiliser V(M_n)=V/n.
6Écrire P(|M_n−μ|≥δ)≤V/(nδ²).
7Imposer V/(nδ²)≤α, puis isoler n.
8Prendre le plus petit entier supérieur ou égal à la valeur obtenue.
Astuce : L’inégalité fournit une borne garantie, souvent peu précise : le résultat réel peut être bien meilleur que la borne calculée.
Exemple expliqué
📝 Une variable X a pour espérance 50 et variance 100. Quelle taille n garantit, par l’inégalité de concentration, P(|M_n−50|≥2)≤0,05 ?
P(|M_n−50|≥2)≤100/(n×2²)=25/n.
On impose 25/n≤0,05, soit n≥500.
La plus petite taille entière garantie est 500.
Conclusion : Il faut un échantillon d’au moins 500 observations.
À retenir
⚖️Bienaymé-Tchebychev
- •Pour X d’espérance μ et variance V, et δ>0 : P(|X−μ|≥δ)≤V/δ².
- •Donc P(|X−μ|<δ)≥1−V/δ².
- •La borne devient utile lorsque δ est suffisamment grand devant l’écart-type.
🧪Moyenne d’échantillon
- •Si X_1,…,X_n sont indépendantes de même loi, M_n=(X_1+…+X_n)/n.
- •E(M_n)=μ et V(M_n)=V/n.
- •Son écart-type vaut σ/√n : la dispersion diminue avec la taille n.
🎯Inégalité de concentration
- •P(|M_n−μ|≥δ)≤V/(nδ²).
- •À précision δ fixée, doubler la taille ne divise pas l’écart-type par 2 mais par √2.
- •La formule permet de choisir n selon une précision et un risque maximal.
📈Loi des grands nombres
- •Pour tout δ>0, P(|M_n−μ|≥δ) tend vers 0 lorsque n→+∞.
- •La moyenne observée se rapproche en probabilité de l’espérance théorique.
- •Elle justifie l’usage des fréquences et moyennes sur de grands échantillons.
💬Interprétation
- •Le risque α est une probabilité maximale de s’écarter de plus de δ.
- •La précision δ est une distance autour de μ.
- •La loi des grands nombres n’affirme pas qu’un petit échantillon sera forcément proche de μ.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier le carré δ² dans le dénominateur.
- • Utiliser V au lieu de V/n pour la moyenne M_n.
- • Confondre la probabilité de l’écart ≥δ avec celle de l’écart <δ.
- • Présenter la borne de Tchebychev comme une probabilité exacte.