Mathématiques · Terminale
Primitives
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Chercher une primitive revient à effectuer l’opération inverse de la dérivation : on cherche une fonction F telle que F'=f sur un intervalle.Méthode pas à pas
🧱Déterminer toutes les primitives
1Préciser l’intervalle d’étude, surtout pour 1/x, u'/u ou les fonctions rationnelles.
2Reconnaître une dérivée usuelle ou une forme composée : u'uⁿ, u'/u, u'e^u, u'cos u…
3Écrire une primitive F puis ajouter la constante réelle C.
4Vérifier en dérivant F.
🎯Trouver une primitive particulière
5Écrire la famille F(x)=F_0(x)+C.
6Utiliser la condition F(a)=b pour calculer C.
7Donner ensuite l’expression unique de la primitive demandée.
Astuce : Le « + C » est obligatoire pour toutes les primitives ; il disparaît seulement après une condition initiale qui fixe C.
Exemple expliqué
📝 Sur ]0,+∞[, déterminer la primitive F de f(x)=3x²−4/x+2eˣ telle que F(1)=5.
Toutes les primitives sont F(x)=x³−4ln(x)+2eˣ+C.
F(1)=1−4ln(1)+2e+C=1+2e+C=5.
Donc C=4−2e.
Conclusion : F(x)=x³−4ln(x)+2eˣ+4−2e sur ]0,+∞[.
À retenir
🔄Définition
- •F est une primitive de f sur I si F'(x)=f(x) pour tout x∈I.
- •Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
- •Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.
📚Table de base
- •Primitive de xⁿ : x^{n+1}/(n+1)+C pour n≠−1.
- •Primitive de 1/x : ln|x|+C sur un intervalle ne contenant pas 0.
- •Primitive de eˣ : eˣ+C ; de cos x : sin x+C ; de sin x : −cos x+C.
🧩Formes composées
- •u'uⁿ → u^{n+1}/(n+1)+C pour n≠−1.
- •u'/u → ln|u|+C sur un intervalle où u ne s’annule pas.
- •u'e^u → e^u+C ; u'cos u → sin u+C ; u'sin u → −cos u+C.
➕Linéarité
- •Une primitive de af+bg est aF+bG.
- •On peut décomposer une somme terme à terme.
- •Une constante k a pour primitives kx+C.
🧪Lien avec les équations différentielles
- •Résoudre y'=f revient à chercher toutes les primitives de f.
- •Une condition y(a)=b sélectionne une solution unique parmi la famille.
- •Certaines fonctions continues n’ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier la constante C dans la famille des primitives.
- • Utiliser x^{n+1}/(n+1) pour n=−1 : le cas 1/x donne ln|x|.
- • Reconnaître une forme composée sans vérifier le facteur u'.
- • Écrire ln(u) au lieu de ln|u| lorsque u peut être négatif sur l’intervalle.