Mathématiques · Terminale
Continuité et TVI
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La continuité formalise l’absence de rupture d’une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence, voire l’unicité, de solutions.Méthode pas à pas
🌊Prouver l’existence et l’unicité d’une solution
1Choisir un intervalle [a,b] sur lequel la fonction est continue.
2Vérifier que la valeur cherchée k est comprise entre f(a) et f(b).
3Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour l’existence.
4Ajouter la stricte monotonie sur l’intervalle pour obtenir l’unicité.
✂️Encadrer une solution
5Après existence et unicité, chercher deux nombres a et b tels que f(a) et f(b) encadrent k.
6Utiliser la dichotomie : remplacer l’intervalle par la moitié qui contient la solution.
7Arrêter lorsque la largeur de l’intervalle donne la précision demandée.
Astuce : Dans une rédaction de TVI, les trois mots indispensables sont : continue, valeurs aux bornes, intervalle-image.
Exemple expliqué
📝 Montrer que l’équation x³+x−1=0 possède une unique solution α dans [0,1].
f(x)=x³+x−1 est un polynôme, donc continue sur [0,1].
f(0)=−1 et f(1)=1 : 0 est compris entre f(0) et f(1), donc il existe une solution.
f'(x)=3x²+1>0 sur [0,1] : f est strictement croissante, donc la solution est unique.
Conclusion : L’équation possède une unique solution α dans [0,1].
À retenir
〰️Continuité
- •f est continue en a si lim_{x→a} f(x) = f(a).
- •f est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun de ses points.
- •Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue. La réciproque est fausse.
📚Fonctions usuelles
- •Polynômes, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur ℝ.
- •Les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s’annule pas.
- •ln est continue sur ]0,+∞[ ; racine carrée sur [0,+∞[.
🎯Théorème des valeurs intermédiaires
- •Si f est continue sur [a,b], toute valeur entre f(a) et f(b) possède au moins un antécédent dans [a,b].
- •Si f est en plus strictement monotone, cet antécédent est unique.
- •Le corollaire de la bijection s’emploie souvent à partir d’un tableau de variations.
🔁Image d’une suite
- •Si u_n→ℓ et f est continue en ℓ, alors f(u_n)→f(ℓ).
- •Pour u_{n+1}=f(u_n), une limite éventuelle ℓ satisfait ℓ=f(ℓ).
- •Cette équation caractérise les limites possibles, pas la convergence elle-même.
🔍Dichotomie
- •La dichotomie construit des intervalles emboîtés contenant la solution.
- •À chaque étape, la largeur est divisée par 2.
- •Après n étapes, la largeur vaut (b−a)/2ⁿ.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Utiliser le TVI sans annoncer la continuité sur l’intervalle.
- • Conclure à l’unicité avec le TVI seul : la monotonie stricte est nécessaire.
- • Écrire f(a)×f(b)<0 comme condition universelle : elle convient surtout pour chercher un zéro.
- • Confondre continuité et dérivabilité.