Mathématiques · Terminale
Dérivation
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
En Terminale, la dérivation s’enrichit avec les fonctions composées et la dérivée seconde pour étudier finement variations, extrema et courbure.Méthode pas à pas
📉Étudier une fonction
1Déterminer le domaine de définition et les limites utiles.
2Calculer f'(x), la factoriser ou la mettre sous une forme dont le signe est lisible.
3Construire le tableau de signes de f', puis le tableau de variations de f.
4Calculer les valeurs aux points critiques et interpréter les extrema dans le contexte.
🧩Dériver une composée
5Identifier la fonction intérieure u et la fonction extérieure v.
6Appliquer (v∘u)' = (v'∘u)×u'.
7Simplifier sans oublier le facteur u'.
8Vérifier le domaine avant d’utiliser ln(u), √u ou 1/u.
Astuce : Avant de développer une dérivée, cherche une factorisation qui rendra son signe immédiatement lisible.
Exemple expliqué
📝 Étudier les variations de f(x)=x exp(−x) sur ℝ.
f'(x)=exp(−x)+x(−exp(−x))=exp(−x)(1−x).
exp(−x)>0 pour tout x : le signe de f' est celui de 1−x.
f croît sur ]−∞,1] puis décroît sur [1,+∞[ ; son maximum vaut f(1)=1/e.
Conclusion : Le maximum global est 1/e, atteint pour x=1.
À retenir
📚Dérivées usuelles
- •(xⁿ)' = n x^{n−1} ; (1/x)' = −1/x² ; (√x)' = 1/(2√x) pour x>0.
- •(eˣ)' = eˣ ; (ln x)' = 1/x pour x>0.
- •(sin x)' = cos x ; (cos x)' = −sin x.
🧮Opérations
- •(u+v)'=u'+v' ; (uv)'=u'v+uv'.
- •(u/v)'=(u'v−uv')/v², lorsque v≠0.
- •(uⁿ)' = n u' u^{n−1} pour n entier ; (e^u)'=u'e^u ; (ln u)'=u'/u lorsque u>0.
🔗Fonction composée
- •Si f=v∘u, alors f'(x)=v'(u(x))u'(x).
- •Pour √u : dérivée u'/(2√u) sur les points où u>0.
- •Pour 1/u : dérivée −u'/u² sur les points où u≠0.
📈Variations et extrema
- •f'>0 implique f croissante ; f'<0 implique f décroissante.
- •Un changement de signe de + vers − donne un maximum local ; de − vers + un minimum local.
- •Une dérivée nulle ne suffit pas, à elle seule, à garantir un extremum.
↪️Dérivée seconde
- •f'' est la dérivée de f'. Elle renseigne sur les variations de f' et la convexité de f.
- •f''>0 : f' croît ; f''<0 : f' décroît.
- •Elle intervient aussi dans les approximations et l’étude des points d’inflexion.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier la dérivée de la fonction intérieure dans une composée.
- • Étudier le signe d’un produit sans isoler les facteurs toujours positifs.
- • Conclure qu’un point est un extremum uniquement parce que f'(a)=0.
- • Ne pas vérifier le domaine avant de dériver ln(u), √u ou un quotient.