Mathématiques · Terminale
Convexité
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La convexité décrit la courbure d’une fonction et relie la position de sa courbe, les variations de f' et le signe de f''.Méthode pas à pas
📐Étudier la convexité
1Calculer f'' sur l’intervalle étudié.
2Étudier le signe de f''.
3Conclure : f est convexe là où f''≥0 et concave là où f''≤0.
4Chercher les changements de signe de f'' pour identifier les points d’inflexion.
⚖️Démontrer une inégalité
5Choisir une fonction convexe ou concave adaptée.
6Utiliser la position par rapport à une tangente ou une corde.
7Écrire l’équation de la tangente au point simple choisi.
8Traduire la position géométrique en inégalité.
Astuce : Une annulation de f'' n’est pas suffisante : il faut un changement de convexité pour avoir un point d’inflexion.
Exemple expliqué
📝 Étudier la convexité de f(x)=x³−3x sur ℝ.
f'(x)=3x²−3 puis f''(x)=6x.
f''<0 sur ]−∞,0[, f''>0 sur ]0,+∞[.
f est concave puis convexe ; la convexité change en 0 et f(0)=0.
Conclusion : La courbe possède un point d’inflexion en O(0,0).
À retenir
〰️Définition graphique
- •f est convexe si sa courbe est située sous ses cordes.
- •Pour une fonction dérivable convexe, la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.
- •f est concave lorsque les positions sont inversées.
🔁Critères équivalents
- •Si f est dérivable : f convexe ⇔ f' croissante.
- •Si f est deux fois dérivable : f convexe ⇔ f''≥0.
- •De même, f concave ⇔ f' décroissante ⇔ f''≤0.
↪️Point d’inflexion
- •Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.
- •Pour une fonction deux fois dérivable, on cherche un changement de signe de f''.
- •Les coordonnées sont (a,f(a)), pas (a,f''(a)).
📏Tangente et inégalités
- •Tangente en a : y=f(a)+f'(a)(x−a).
- •Si f est convexe, f(x)≥f(a)+f'(a)(x−a).
- •Si f est concave, l’inégalité est inversée.
👀Lectures graphiques
- •La pente des tangentes augmente sur une zone convexe.
- •La pente des tangentes diminue sur une zone concave.
- •On peut lire la convexité à partir des courbes de f, f' ou du signe de f''.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Confondre croissance de f et convexité de f.
- • Conclure à un point d’inflexion dès que f''(a)=0, sans changement de signe.
- • Inverser la position de la courbe et des tangentes pour une fonction convexe.
- • Oublier de calculer l’ordonnée du point d’inflexion.