Mathématiques · Terminale
Équations différentielles
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Une équation différentielle a pour inconnue une fonction ; au programme, on résout surtout y'=ay et y'=ay+b avec une condition initiale éventuelle.Méthode pas à pas
🧪Résoudre y'=ay
1Identifier la constante réelle a.
2Écrire la famille de solutions y(x)=C exp(ax), C∈ℝ.
3Utiliser la condition initiale y(x_0)=y_0 pour obtenir C=y_0exp(−ax_0).
4Vérifier en dérivant la solution.
🔧Résoudre y'=ay+b
5Si a≠0, chercher la solution constante y_p=−b/a.
6Ajouter la solution générale de l’équation homogène : y(x)=C exp(ax)−b/a.
7Si a=0, l’équation devient y'=b et y=bx+C.
8Appliquer la condition initiale puis interpréter le modèle.
🧩Utiliser une solution particulière
9Vérifier que la fonction y_p donnée satisfait y_p'=ay_p+f.
10Écrire y=y_p+z : la fonction z vérifie z'=az.
11En déduire y=y_p+C exp(ax).
12Utiliser la condition initiale, puis vérifier la solution obtenue.
Astuce : Après résolution, dérive toujours ton expression et remplace-la dans l’équation : cette vérification détecte presque toutes les erreurs de signe.
Exemple expliqué
📝 Résoudre y'=−2y+6 avec y(0)=1.
La valeur d’équilibre est −b/a=−6/(−2)=3.
Les solutions sont y(x)=C exp(−2x)+3.
y(0)=C+3=1, donc C=−2.
Conclusion : La solution est y(x)=3−2exp(−2x); elle tend vers 3 quand x→+∞.
À retenir
🚀Équation y'=ay
- •Toutes les solutions sont y(x)=C exp(ax).
- •Si a>0, les solutions non nulles croissent en valeur absolue ; si a<0, elles tendent vers 0 à l’infini.
- •La solution nulle correspond à C=0.
⚙️Équation y'=ay+b
- •Pour a≠0 : y(x)=C exp(ax)−b/a.
- •La valeur d’équilibre est −b/a, car elle annule ay+b.
- •Pour a=0 : y(x)=bx+C.
🧩Équation y'=ay+f
- •Si une solution particulière y_p est connue, toutes les solutions sont y=y_p+C exp(ax).
- •En effet, la différence de deux solutions vérifie l’équation homogène z'=az.
- •Une condition initiale détermine ensuite la constante C.
📍Condition initiale
- •Une condition y(x_0)=y_0 détermine une unique constante C.
- •Il est souvent plus simple d’utiliser directement la condition après avoir écrit la famille.
- •La solution particulière doit rester compatible avec le contexte : quantité positive, temps positif, etc.
🌱Modélisation
- •y'=ay : croissance ou décroissance proportionnelle à la quantité.
- •y'=ay+b : évolution vers une valeur d’équilibre lorsque a<0.
- •Les modèles apparaissent en radioactivité, population, température, finance ou dynamique de systèmes.
💻Méthode d’Euler
- •Pour y'=f(x,y), Euler approche la solution par y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n).
- •Le pas h contrôle la finesse de l’approximation.
- •Cette méthode numérique complète la résolution exacte lorsque celle-ci n’est pas disponible.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier le signe dans la solution particulière −b/a.
- • Écrire y=Cexp(ax)+b/a au lieu de y=Cexp(ax)−b/a.
- • Appliquer la formule y=Cexp(ax) lorsque l’équation contient un terme b non nul.
- • Ne pas vérifier la solution par dérivation.