Mathématiques · Terminale
Intégrales
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
L’intégrale mesure une accumulation ; pour une fonction positive, elle représente une aire sous la courbe, et elle se calcule exactement à l’aide d’une primitive.Méthode pas à pas
∫Calculer une intégrale
1Vérifier que la fonction est continue sur l’intervalle.
2Déterminer une primitive F de f.
3Appliquer la formule ∫_a^b f(x)dx = F(b)−F(a).
4Simplifier exactement avant de donner une valeur approchée éventuelle.
📐Calculer une aire
5Repérer la fonction supérieure et la fonction inférieure.
6Résoudre leurs intersections pour découper l’intervalle si l’ordre change.
7Calculer ∫(fonction supérieure−fonction inférieure).
8Conclure avec une unité d’aire et une valeur positive.
🔁Intégrer par parties
9Repérer un produit u×v' et choisir u, v' de façon stratégique.
10Calculer u' et une primitive v de v'.
11Écrire entièrement [uv]_a^b−∫_a^b u'v avant de remplacer les bornes.
12Vérifier que la nouvelle intégrale est réellement plus simple.
Astuce : Une intégrale peut être négative ; une aire géométrique, elle, est toujours positive et peut nécessiter un découpage.
Exemple expliqué
📝 Calculer I=∫_0¹ x eˣ dx par intégration par parties.
Choisir u(x)=x et v'(x)=eˣ ; alors u'(x)=1 et v(x)=eˣ.
I=[x eˣ]_0¹−∫_0¹ eˣ dx=e−[eˣ]_0¹.
I=e−(e−1)=1.
Conclusion : ∫_0¹ x eˣ dx=1.
À retenir
∫Définition et notation
- •Pour f continue sur [a,b], ∫_a^b f(x)dx est un nombre réel.
- •Si f≥0, cette intégrale est l’aire sous la courbe entre a et b.
- •La variable x est muette : ∫_a^b f(x)dx = ∫_a^b f(t)dt.
🔄Théorème fondamental
- •Si F est une primitive de f, alors ∫_a^b f(x)dx=F(b)−F(a).
- •La fonction x↦∫_aˣ f(t)dt est une primitive de f et s’annule en a.
- •Ce résultat relie dérivation et intégration.
🧮Propriétés
- •Linéarité : ∫(αf+βg)=α∫f+β∫g.
- •Relation de Chasles : ∫_a^c f=∫_a^b f+∫_b^c f.
- •Inversion des bornes : ∫_b^a f=−∫_a^b f et ∫_a^a f=0.
⚖️Ordre et moyenne
- •Si f≤g sur [a,b], alors ∫_a^b f≤∫_a^b g.
- •Si m≤f≤M, alors m(b−a)≤∫f≤M(b−a).
- •Valeur moyenne de f sur [a,b] : μ=(1/(b−a))∫_a^b f(x)dx.
🔁Intégration par parties
- •Si u et v sont dérivables : ∫_a^b u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b−∫_a^b u'(x)v(x)dx.
- •On choisit u pour que u' soit plus simple et v' pour qu’une primitive v soit immédiate.
- •Cette méthode est notamment utile pour x eˣ, x cos x, x sin x ou ln x.
📏Aires
- •Aire entre y=f(x) et l’axe : ∫|f(x)|dx, après découpage aux changements de signe.
- •Aire entre deux courbes : ∫|f(x)−g(x)|dx.
- •Les méthodes des rectangles, milieux ou trapèzes donnent des approximations numériques.
📚Encadrements et suites d’intégrales
- •Une minoration ou majoration de f sur [a,b] s’intègre membre à membre.
- •Les rectangles donnent des valeurs approchées et, pour une fonction monotone, des encadrements de l’intégrale.
- •Pour une suite I_n=∫ f_n, on utilise comparaison, relation de Chasles ou intégration par parties pour obtenir bornes, monotonie ou récurrence.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier l’ordre F(b)−F(a).
- • Confondre intégrale algébrique et aire géométrique lorsque la fonction change de signe.
- • Ajouter une constante C à une primitive dans le calcul final : elle s’annule de toute façon.
- • Oublier de découper lorsque deux courbes se croisent.
- • En intégration par parties, oublier le terme de bord [uv]_a^b ou le signe moins devant la seconde intégrale.