Mathématiques · Terminale
Fonctions sinus et cosinus
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les fonctions sinus et cosinus modélisent des phénomènes périodiques et s’étudient à l’aide du cercle trigonométrique, des dérivées et des identités usuelles.Méthode pas à pas
⭕Étudier une fonction trigonométrique
1Repérer une éventuelle périodicité et réduire l’étude à un intervalle de longueur adaptée.
2Calculer la dérivée avec (sin u)'=u'cos u et (cos u)'=−u'sin u.
3Résoudre l’inéquation trigonométrique donnant le signe de la dérivée.
4Construire le tableau de variations puis prolonger par périodicité.
🎯Résoudre une équation
5Ramener l’équation à sin x=a ou cos x=a.
6Identifier les angles de référence sur le cercle trigonométrique.
7Écrire toutes les solutions avec k∈ℤ, puis restreindre à l’intervalle demandé.
🌓Résoudre une inéquation
8Ramener l’inéquation à une forme du type cos x≤a et vérifier la position de a par rapport à [−1,1].
9Repérer les angles frontières sur le cercle ou utiliser α=arccos(a).
10Lire les arcs où le cosinus vérifie l’inégalité, puis écrire les intervalles dans le domaine demandé.
Astuce : Fais toujours un petit cercle trigonométrique : il évite les oublis de solutions et les erreurs de signe.
Exemple expliqué
📝 Résoudre cos x=1/2 sur [0,2π].
L’angle de référence est π/3 car cos(π/3)=1/2.
Sur le cercle, le cosinus est positif dans les quadrants I et IV.
Les solutions dans [0,2π] sont x=π/3 et x=5π/3.
Conclusion : S={π/3 ; 5π/3}.
À retenir
⭕Cercle trigonométrique
- •Un angle x correspond au point de coordonnées (cos x, sin x).
- •cos² x + sin² x = 1.
- •Valeurs remarquables à connaître pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et leurs symétries.
🔁Périodicité et parité
- •sin(x+2π)=sin x et cos(x+2π)=cos x.
- •sin est impaire : sin(−x)=−sin x.
- •cos est paire : cos(−x)=cos x.
📉Dérivées
- •(sin x)'=cos x ; (cos x)'=−sin x.
- •(sin u)'=u'cos u ; (cos u)'=−u'sin u.
- •Ces dérivées permettent d’étudier variations et extrema sur un intervalle.
📈Variations et courbes
- •Sur [−π,π], cos croît sur [−π,0] puis décroît sur [0,π] ; son maximum vaut 1 en 0.
- •Sur [−π/2,π/2], sin est croissante de −1 à 1 ; les variations se prolongent par périodicité.
- •Les deux fonctions prennent leurs valeurs dans [−1,1] et leurs courbes sont périodiques de période 2π.
🧮Équations usuelles
- •cos x=cos a ⇔ x=2kπ±a.
- •sin x=sin a ⇔ x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ.
- •Les solutions doivent ensuite être filtrées sur l’intervalle demandé.
🌓Inéquations avec le cosinus
- •Sur [−π,π], on résout cos x≤a à l’aide de la courbe ou du cercle trigonométrique.
- •Si −1≤a<1 et α=arccos(a), alors cos x≤a ⇔ x∈[−π,−α]∪[α,π].
- •Si a<−1, il n’y a aucune solution ; si a≥1, tout l’intervalle convient.
✨Formules utiles
- •cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b.
- •sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b.
- •cos(2x)=cos²x−sin²x=2cos²x−1=1−2sin²x.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Donner une seule solution à une équation trigonométrique qui en possède deux par période.
- • Oublier le signe moins dans la dérivée de cos.
- • Mélanger degrés et radians.
- • Confondre sin²(x) avec sin(x²).