Mathématiques · Terminale
Fonction logarithme
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle ; il transforme les produits en sommes et permet de résoudre de nombreuses équations.Méthode pas à pas
🌿Résoudre avec ln
1Déterminer d’abord les conditions de définition : tout argument d’un logarithme doit être strictement positif.
2Utiliser les propriétés algébriques pour regrouper ou séparer les logarithmes.
3Exploiter que ln est strictement croissante : ln(a)=ln(b) ⇔ a=b pour a,b>0.
4Conserver uniquement les solutions compatibles avec les conditions initiales.
📉Étudier une fonction avec ln
5Déterminer le domaine, généralement par une inéquation u(x)>0.
6Utiliser (ln u)'=u'/u.
7Pour les limites, mobiliser ln(x)→−∞ en 0^+ et ln(x)→+∞ en +∞.
8Comparer ln(x) aux puissances lorsque x→+∞ ou x→0^+.
Astuce : Écris les conditions x>0 ou u(x)>0 avant toute transformation logarithmique : elles font partie de la résolution.
Exemple expliqué
📝 Résoudre ln(x−1)+ln(x+1)=ln(8).
Conditions : x−1>0 et x+1>0, donc x>1.
ln[(x−1)(x+1)]=ln(8), donc x²−1=8.
x²=9 donne x=−3 ou x=3 ; seule x=3 vérifie x>1.
Conclusion : L’unique solution est x=3.
À retenir
🔄Fonction réciproque
- •ln est définie sur ]0,+∞[ et prend ses valeurs dans ℝ.
- •ln(eˣ)=x pour tout x∈ℝ ; exp(ln x)=x pour x>0.
- •ln(1)=0 et ln(e)=1.
🧮Propriétés algébriques
- •ln(ab)=ln(a)+ln(b) pour a,b>0.
- •ln(a/b)=ln(a)−ln(b) ; ln(aⁿ)=n ln(a).
- •ln(1/a)=−ln(a).
📈Dérivée et variations
- •(ln x)'=1/x>0 : ln est strictement croissante sur ]0,+∞[.
- •(ln u)'=u'/u lorsque u>0.
- •Une primitive de u'/u est ln|u| sur un intervalle où u ne s’annule pas.
♾️Limites
- •ln(x)→−∞ quand x→0^+ ; ln(x)→+∞ quand x→+∞.
- •ln(x)/x^α→0 en +∞ pour α>0.
- •x^α ln(x)→0 en 0^+ pour α>0.
🎯Équations et puissances
- •eˣ=a avec a>0 ⇔ x=ln(a).
- •ln(x)=b ⇔ x=e^b.
- •Pour a>0, aˣ=exp(x ln(a)) ; cette écriture permet de dériver et résoudre.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier le domaine strictement positif des arguments du logarithme.
- • Écrire ln(a+b)=ln(a)+ln(b), propriété fausse.
- • Oublier la valeur absolue dans une primitive de u'/u lorsque u peut être négatif.
- • Garder une solution algébrique qui ne respecte pas les conditions de définition.