Mathématiques · Terminale
Fonction exponentielle
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La fonction exponentielle est un acquis de Première indispensable en Terminale pour les limites, les équations différentielles et les modèles de croissance ou de décroissance.Méthode pas à pas
🚀Résoudre une équation ou inéquation
1Transformer les deux membres sous forme exponentielle lorsque c’est possible.
2Utiliser que exp est strictement croissante : e^a=e^b ⇔ a=b et e^a≤e^b ⇔ a≤b.
3Sinon appliquer ln aux deux membres, uniquement s’ils sont strictement positifs.
4Vérifier le domaine et interpréter la solution dans le contexte.
📈Étudier une expression exponentielle
5Factoriser par l’exponentielle, toujours strictement positive, pour étudier un signe.
6Utiliser (exp(u))'=u'exp(u).
7Pour les limites, mobiliser les croissances comparées avec les puissances.
Astuce : exp(u(x)) est toujours strictement positif : dans un produit, son facteur ne change jamais le signe.
Exemple expliqué
📝 Résoudre sur ℝ l’équation 3exp(2x)=12.
exp(2x)=4.
Les deux membres sont positifs : on applique ln, donc 2x=ln(4).
x=ln(4)/2=ln(2).
Conclusion : La solution unique est x=ln(2).
À retenir
✨Définition et propriétés
- •exp est l’unique fonction dérivable vérifiant f'=f et f(0)=1.
- •exp(a+b)=e^a e^b ; exp(a−b)=e^a/e^b ; exp(−a)=1/e^a.
- •e⁰=1 et eˣ>0 pour tout réel x.
📈Variations et limites
- •(eˣ)'=eˣ>0 : exp est strictement croissante sur ℝ.
- •eˣ→+∞ quand x→+∞ ; eˣ→0 quand x→−∞.
- •La courbe admet y=0 comme asymptote horizontale en −∞.
🧮Dérivation
- •(exp(u(x)))'=u'(x)exp(u(x)).
- •Pour f(x)=P(x)exp(u(x)), appliquer la règle du produit puis factoriser exp(u(x)).
- •Une primitive de u'e^u est e^u.
⚖️Croissances comparées
- •Pour tout entier n, xⁿ/eˣ→0 quand x→+∞.
- •eˣ domine donc tout polynôme en +∞.
- •Par changement de variable, xⁿ exp(−x)→0 en +∞.
🌱Modèles
- •Croissance continue : y(t)=y_0 exp(at) avec a>0.
- •Décroissance : a<0 ; demi-vie T vérifie exp(aT)=1/2.
- •Le taux instantané est proportionnel à la quantité : y'=ay.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Écrire exp(a+b)=e^a+e^b : la bonne propriété utilise un produit.
- • Oublier le facteur u' dans la dérivée de e^u.
- • Prendre le logarithme d’un membre négatif ou nul.
- • Penser que eˣ peut être nul : il est toujours strictement positif.