Mathématiques · Terminale
Maths expertes : Nombres complexes
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les nombres complexes étendent les réels, permettent de résoudre toutes les équations du second degré réelles et offrent un langage puissant pour la géométrie et la trigonométrie.Méthode pas à pas
🌀Calculer dans ℂ
1Mettre les expressions sous forme algébrique a+ib en utilisant i²=−1.
2Pour un quotient, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
3Choisir la forme trigonométrique ou exponentielle pour les produits, quotients et puissances.
4Revenir à la forme demandée et vérifier module et argument.
🎯Résoudre une équation
5Pour az=b avec a≠0, calculer z=b/a puis vérifier par substitution.
6Pour une équation du second degré réelle, calculer Δ ; si Δ<0, utiliser √Δ=i√(−Δ).
7Pour zⁿ=1, utiliser les racines exp(2ikπ/n).
8En géométrie, traduire longueurs par des modules et angles par des arguments de quotients.
🧮Factoriser et résoudre un polynôme
9Tester ou utiliser la racine a donnée, puis écrire P(z)=(z−a)Q(z).
10Déterminer Q par identification, division euclidienne ou schéma de Horner.
11Résoudre ensuite Q(z)=0, souvent une équation du second degré.
12Vérifier le nombre total de racines et, si les coefficients sont réels, la présence éventuelle de racines conjuguées.
Astuce : Choisis la forme adaptée : algébrique pour additionner, exponentielle pour multiplier, diviser ou élever à une puissance.
Exemple expliqué
📝 Résoudre z²−2z+5=0 dans ℂ.
Δ=(−2)²−4×1×5=−16.
√Δ=4i.
z=(2±4i)/2=1±2i.
Conclusion : Les solutions sont 1−2i et 1+2i.
À retenir
🌀Forme algébrique
- •z=a+ib avec a,b∈ℝ ; Re(z)=a, Im(z)=b et i²=−1.
- •Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
- •La formule du binôme reste valable dans ℂ ; on peut aussi résoudre des équations simples faisant intervenir z et z̄.
🪞Conjugué et inverse
- •Si z=a+ib, alors z̄=a−ib ; le conjugué commute avec somme, produit, inverse et puissances entières.
- •zz̄=|z|²=a²+b².
- •Pour z≠0 : 1/z=z̄/|z|².
⭕Module, argument et cercle unité
- •|z|=√(a²+b²) et représente une distance dans le plan complexe.
- •Tout z≠0 s’écrit |z|(cos θ+i sin θ)=|z|exp(iθ), avec θ défini modulo 2π.
- •L’ensemble U={z∈ℂ : |z|=1} est stable par produit et passage à l’inverse.
📐Calcul trigonométrique
- •exp(iθ)=cos θ+i sin θ ; les modules se multiplient et les arguments s’additionnent.
- •Moivre : (cos θ+i sin θ)ⁿ=cos(nθ)+i sin(nθ).
- •Euler : cos θ=½(exp(iθ)+exp(−iθ)) et sin θ=(exp(iθ)−exp(−iθ))/(2i).
🧮Équations polynomiales
- •Une équation du second degré réelle de discriminant négatif possède deux racines complexes conjuguées.
- •Si P(a)=0, alors P(z) est factorisable par z−a ; une équation de degré 3 dont une racine est connue se ramène ainsi au second degré.
- •Un polynôme non nul de degré n possède au plus n racines ; zⁿ−aⁿ est divisible par z−a.
📍Géométrie complexe
- •|z_B−z_A|=AB et l’argument de (z_C−z_A)/(z_B−z_A) donne l’angle orienté (AB,AC).
- •Module et argument d’un quotient permettent de démontrer alignement, orthogonalité, longueurs et angles.
- •Les racines n-ièmes de l’unité sont exp(2ikπ/n), k=0,…,n−1, et forment un polygone régulier.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier que i²=−1 lors du développement.
- • Additionner les modules dans un produit au lieu de les multiplier.
- • Donner un argument unique sans préciser qu’il est défini modulo 2π.
- • Utiliser la forme exponentielle pour additionner des complexes, opération où elle n’est pas adaptée.
- • Oublier qu’une racine connue doit conduire à une factorisation par z−a avant de résoudre le facteur restant.