Mathématiques · Terminale
Maths expertes : Arithmétique
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
L’arithmétique étudie les entiers à travers divisibilité, congruences, PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres premiers et équations diophantiennes.Méthode pas à pas
🔢Résoudre un problème de divisibilité
1Traduire « a divise b » par l’existence d’un entier k tel que b=ak.
2Utiliser division euclidienne ou congruences pour simplifier les calculs.
3Calculer un PGCD avec l’algorithme d’Euclide si nécessaire.
4Choisir Bézout pour les combinaisons linéaires et Gauss pour un produit divisible.
🧩Résoudre une congruence ou une équation diophantienne
5Réduire les nombres modulo n et utiliser la compatibilité avec somme et produit.
6Pour ax≡b [n], vérifier d’abord la condition liée à pgcd(a,n).
7Si pgcd(a,n)=1, calculer un inverse de a modulo n avec une identité de Bézout, puis multiplier la congruence par cet inverse.
8Pour ax+by=c, vérifier que pgcd(a,b) divise c.
9Trouver une solution particulière puis décrire toutes les solutions entières.
Astuce : Écris explicitement le modulus dans chaque congruence : une même égalité peut être vraie modulo 5 et fausse modulo 7.
Exemple expliqué
📝 Résoudre dans ℤ l’équation 15x+21y=3.
pgcd(15,21)=3, qui divise 3 : des solutions existent.
Une identité de Bézout est 3=3×15−2×21, donc (x_0,y_0)=(3,−2).
Toutes les solutions sont x=3+7k et y=−2−5k, avec k∈ℤ.
Conclusion : S={(3+7k,−2−5k), k∈ℤ}.
À retenir
➗Divisibilité et division euclidienne
- •a|b ⇔ il existe k∈ℤ tel que b=ak.
- •Pour a∈ℤ et b∈ℕ*, il existe un unique couple (q,r) avec a=bq+r et 0≤r<b.
- •Les diviseurs communs de a et b sont ceux de b et du reste de la division de a par b.
🟰Congruences
- •a≡b [n] ⇔ n divise a−b.
- •Les congruences sont compatibles avec addition, soustraction, multiplication et puissances.
- •On ne simplifie par un facteur que sous des conditions de coprimalité adaptées.
🔗PGCD et Bézout
- •L’algorithme d’Euclide calcule pgcd(a,b) par divisions successives.
- •Bézout : pgcd(a,b)=d ⇔ il existe u,v∈ℤ tels que au+bv=d.
- •a et b sont premiers entre eux ⇔ il existe u,v tels que au+bv=1.
⚙️Théorème de Gauss
- •Si a|bc et pgcd(a,b)=1, alors a|c.
- •Conséquence : si un nombre premier p divise un produit, il divise au moins un facteur.
- •Ce théorème sécurise la simplification dans les congruences et les divisibilités.
🔒Inverse modulo n et Fermat
- •a possède un inverse modulo n si et seulement si pgcd(a,n)=1 ; Bézout permet de le calculer.
- •Petit théorème de Fermat : si p est premier, alors a^p≡a [p] ; si p ne divise pas a, a^{p−1}≡1 [p].
- •Ces résultats servent aux congruences, tests de divisibilité et systèmes de chiffrement.
🔐Nombres premiers et équations
- •Tout entier n≥2 se décompose de façon unique en produit de nombres premiers, à l’ordre près.
- •Il existe une infinité de nombres premiers.
- •ax+by=c admet des solutions entières si et seulement si pgcd(a,b) divise c.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Simplifier une congruence par un facteur non inversible modulo n.
- • Confondre « premiers entre eux » et « nombres premiers ».
- • Oublier de vérifier que le PGCD divise le second membre d’une équation diophantienne.
- • Écrire une congruence sans modulus.