Terminale · atelier de raisonnement · sans compte
Intégrales : distinguer valeur signée et aire
Calculer par primitive, gérer un changement de signe et choisir la courbe supérieure pour une aire.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
Une intégrale est une accumulation signée. Pour une fonction positive, elle représente l’aire sous la courbe ; si la fonction prend des valeurs négatives, les contributions peuvent se compenser. Pour une aire entre deux courbes, on intègre « courbe supérieure moins courbe inférieure » sur chaque intervalle où cet ordre est connu. Une primitive se vérifie en la dérivant : cette étape simple repère un coefficient oublié.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- Pour f(x) = x − 1 sur [0 ; 3], une primitive est F(x) = x²/2 − x.
- L’intégrale de 0 à 3 vaut F(3) − F(0) = 9/2 − 3 = 3/2.
- Mais f est négative de 0 à 1, puis positive de 1 à 3. L’aire géométrique vaut −∫₀¹ f(x) dx + ∫₁³ f(x) dx.
- La première aire vaut 1/2 et la seconde 2 ; l’aire totale vaut 5/2. Elle est différente de l’intégrale signée, qui vaut 3/2.
Deux surfaces, une accumulation signée
Une erreur à examiner
« Une intégrale négative donne une aire négative. »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
Une aire géométrique est positive ou nulle. Une intégrale négative indique que la contribution située sous l’axe domine. Pour obtenir l’aire, on étudie le signe et on additionne les surfaces sans compensation.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
Calcule l’intégrale de 2x + 3 entre 0 et 2 et interprète-la comme une aire.
Un indice pour avancer
Vérifie d’abord le signe de la fonction sur l’intervalle.
Correction expliquée et vérification
- 2x + 3 est positive sur [0 ; 2]. Une primitive est x² + 3x.
- La valeur est (4 + 6) − 0 = 10.
- Il s’agit d’une aire de 10 unités d’aire, avec les unités du repère.
Réponse : 10
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
Calcule l’intégrale de x − 2 entre 0 et 3, puis l’aire entre cette droite et l’axe des abscisses.
Un indice pour avancer
La fonction change de signe en 2.
Correction expliquée et vérification
- Une primitive est x²/2 − 2x. L’intégrale vaut 9/2 − 6 = −3/2.
- De 0 à 2, le triangle sous l’axe a une aire de 2. De 2 à 3, le triangle au-dessus a une aire de 1/2.
- L’aire géométrique est 5/2, tandis que l’intégrale signée est −3/2.
Réponse : Intégrale −3/2 ; aire 5/2
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Sur [0 ; 2], calcule l’aire comprise entre y = 2x et y = x².
Un indice pour avancer
Étudie le signe de 2x − x² avant de choisir l’intégrande.
Correction expliquée et vérification
- 2x − x² = x(2 − x) ≥ 0 sur [0 ; 2] : la droite est au-dessus de la parabole.
- Une primitive de 2x − x² est x² − x³/3.
- L’aire vaut 4 − 8/3 = 4/3 unité d’aire. Les courbes se rencontrent aux deux bornes.
Réponse : 4/3
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- x³ — La dérivée de x³ vaut 3x². Celle de 3x³ vaudrait 9x².
- −∫ₐᵇ f(x) dx — L’intégrale est négative ou nulle ; son opposé donne l’aire positive ou nulle.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.