Mathématiques · 1re
Second degre
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Le second degré sert à résoudre des équations et inéquations, étudier une parabole et optimiser une grandeur. Les ressources fournies insistent sur les trois formes d’un trinôme, le discriminant, les tableaux de signes et les problèmes où il faut choisir une stratégie plutôt qu’appliquer une formule au hasard.Méthode pas à pas
1Identifier le trinôme P(x)=ax²+bx+c et choisir la forme la plus utile : développée pour Δ, factorisée pour le signe, canonique pour les variations.
2Chercher d’abord une factorisation évidente ; sinon calculer Δ=b²−4ac et déterminer les racines réelles.
3Pour une inéquation, factoriser puis construire le tableau de signe en tenant compte du signe de a.
4Pour une étude de fonction, calculer α=−b/(2a), β=P(α), puis déduire les variations et l’extremum.
5Dans un problème, traduire la situation par une expression du second degré, résoudre, puis vérifier les contraintes du contexte.
Réflexe : une réponse au second degré comporte toujours une conclusion : ensemble de solutions, intervalle de signe ou valeur optimale.
Exemple expliqué
📝 Étudier P(x)=2x²−5x−3
Δ = (−5)² − 4×2×(−3) = 49
x₁ = (5−7)/4 = −1/2 ; x₂ = (5+7)/4 = 3
P(x)=2(x+1/2)(x−3)=(2x+1)(x−3)
Comme a>0 : P>0 sur ]−∞;−1/2[∪]3;+∞[, P<0 entre les racines
Sommet S(5/4 ; −49/8) : P admet un minimum égal à −49/8
La même étude répond à quatre questions : résoudre P=0, résoudre P≤0, factoriser P et lire le minimum.
À retenir
📌 Les trois formes
| Forme | Expression | Usage |
|---|---|---|
| Développée | ax²+bx+c | Calcul de Δ, dérivée, identification de a,b,c |
| Canonique | a(x−α)²+β | Sommet, variations, extremum |
| Factorisée | a(x−x₁)(x−x₂) | Signe, équations et inéquations |
📌 Discriminant et racines
- • Δ<0 : aucune racine réelle ; P garde le signe de a.
- • Δ=0 : une racine double x₀=−b2a et P=a(x−x₀)².
- • Δ>0 : deux racines x₁=−b−√Δ2a, x₂=−b+√Δ2a.
📌 Variations de la parabole
- • α=−b2a et β=P(α)=−Δ4a.
- • Si a>0 : P décroît puis croît et β est un minimum.
- • Si a<0 : P croît puis décroît et β est un maximum.
📌 Stratégies rencontrées dans les ressources
- • Équation bicarrée : poser X=x².
- • Équation avec une racine carrée : imposer les conditions d’existence, isoler la racine, élever au carré puis vérifier.
- • Polynôme de degré 3 avec racine apparente : factoriser par (x−r), puis résoudre le trinôme restant.
- • Optimisation : définir la variable, son intervalle, la fonction puis exploiter le sommet.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Confondre l’abscisse du sommet α avec la racine double.
- • Oublier que le signe extérieur/entre les racines dépend de a.
- • Élever une équation au carré sans vérifier les solutions obtenues.
- • Donner une solution mathématique interdite par le contexte (longueur négative, rang non entier…).