Terminale · atelier de raisonnement · sans compte
Logarithme : commencer par le domaine
Résoudre des égalités et inégalités logarithmiques sans utiliser une propriété hors de son domaine.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
ln(x) est défini sur les réels strictement positifs. Il transforme un produit de facteurs positifs en somme, pas une somme en somme. Comme ln est strictement croissante, comparer ln(a) et ln(b) revient à comparer a et b, à condition que les deux soient positifs. Les valeurs interdites doivent être déterminées avant les transformations et conservées jusqu’à la conclusion.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- Résolvons ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln(8). Les deux arguments imposent x > 1.
- Sur ce domaine, la somme devient ln((x − 1)(x + 1)), donc ln(x² − 1) = ln(8).
- L’injectivité de ln donne x² − 1 = 8, soit x = −3 ou x = 3 comme candidats algébriques.
- Le domaine x > 1 élimine −3. La seule solution est 3 ; on vérifie ln(2) + ln(4) = ln(8).
Une erreur à examiner
« ln(a + b) = ln(a) + ln(b). »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
Avec a = b = 1, le membre de gauche vaut ln(2) alors que le membre de droite vaut 0. La propriété valable est ln(ab) = ln(a) + ln(b), pour a et b strictement positifs. Un contre-exemple suffit à réfuter une identité proposée pour tous les nombres.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
Résous ln(2x − 1) = ln(5).
Un indice pour avancer
Écris le domaine avant d’égaliser les arguments.
Correction expliquée et vérification
- 2x − 1 > 0 impose x > 1/2.
- L’injectivité de ln donne 2x − 1 = 5, donc x = 3.
- Cette valeur appartient au domaine ; c’est l’unique solution.
Réponse : x = 3
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
Résous ln(x − 2) ≤ 0.
Un indice pour avancer
Utilise 0 = ln(1), puis conserve la condition x − 2 > 0.
Correction expliquée et vérification
- Le domaine est x > 2.
- Par croissance de ln, ln(x − 2) ≤ ln(1) équivaut à x − 2 ≤ 1.
- Les deux conditions donnent 2 < x ≤ 3. Le bord 2 est interdit, le bord 3 est inclus.
Réponse : ]2 ; 3]
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Étudie les variations de f(x) = ln(x)/x sur ]0 ; +∞[ et détermine son maximum.
Un indice pour avancer
La dérivée est un quotient de dénominateur positif.
Correction expliquée et vérification
- f′(x) = (1 − ln(x))/x².
- Le numérateur est positif pour x < e, nul pour x = e, négatif pour x > e.
- f croît puis décroît ; son maximum global sur ce domaine vaut f(e) = 1/e.
Réponse : Maximum 1/e en x = e
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- x ≠ 0 — L’argument x² est strictement positif exactement lorsque x ≠ 0. En revanche, écrire 2ln(x) exigerait x > 0.
- −ln(a) — ln(1/a) = ln(1) − ln(a) = −ln(a). L’expression 1/ln(a) est autre chose et est même indéfinie pour a = 1.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.