Mathématiques · 1re
Fonction exponentielle
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La fonction exponentielle est la fonction qui modélise naturellement une évolution proportionnelle à la quantité présente. Les ressources la construisent à partir de f′=f et f(0)=1, puis développent ses propriétés algébriques, son signe, ses variations, ses équations et ses applications à la croissance ou à la décroissance.Méthode pas à pas
1Réécrire les expressions avec eᵃeᵇ=eᵃ⁺ᵇ, eᵃ/eᵇ=eᵃ⁻ᵇ et e⁻ᵃ=1/eᵃ.
2Dans une équation eᵘ=eᵛ, utiliser la stricte croissance de l’exponentielle pour obtenir u=v.
3Pour une fonction contenant eᵘ, dériver en multipliant par u′, puis factoriser autant que possible.
4Dans un modèle eᵏᵗ, lire le signe de k : croissance si k>0, décroissance si k<0.
5Interpréter les résultats : valeur initiale, coefficient multiplicateur, seuil ou temps de doublement.
Réflexe : ne jamais remplacer eᵃ⁺ᵇ par eᵃ+eᵇ : l’exponentielle transforme les sommes en produits.
Exemple expliqué
📝 Étudier f(x)=eˣ−2x
f′(x)=eˣ−2
f′(x)=0 ⇔ eˣ=2 : on note α l’unique solution (α≈0,693)
f′<0 pour x<α et f′>0 pour x>α
f admet donc un minimum en α : f(α)=2−2α
En Terminale, on apprendra que cette valeur α se note ln 2. Ici, il suffit de la comprendre comme l’unique antécédent de 2 par l’exponentielle.
À retenir
📌 Définition et valeurs
- • exp est l’unique fonction dérivable telle que f′=f et f(0)=1.
- • eˣ>0 pour tout réel x ; e⁰=1.
- • exp est strictement croissante sur ℝ.
📌 Propriétés algébriques
- • eᵃ⁺ᵇ=eᵃeᵇ.
- • eᵃ⁻ᵇ=eᵃ/eᵇ.
- • (eᵃ)ⁿ=eⁿᵃ et e⁻ᵃ=1/eᵃ.
📌 Dérivation
- • (eˣ)′=eˣ.
- • (eᵘ)′=u′eᵘ.
- • Comme eᵘ>0, le signe d’un produit A(x)eᵘ est celui de A(x).
📌 Modèles
- • Evolution discrète : uₙ=u₀qⁿ.
- • Evolution continue : f(t)=A eᵏᵗ.
- • Pour une hausse de p% par étape, q=1+p/100 ; pour une baisse, q=1−p/100.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Écrire eᵃ⁺ᵇ=eᵃ+eᵇ.
- • Oublier la dérivée de l’exposant dans (eᵘ)′.
- • Traiter eˣ comme une expression pouvant être nulle.
- • Confondre croissance discrète qⁿ et croissance continue eᵏᵗ.