Mathématiques · 1re
Dérivation
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La dérivation relie une variation locale — pente d’une tangente, vitesse instantanée — à l’étude globale d’une fonction. Les séances fournies vont du taux de variation à la tangente, puis aux règles de dérivation, aux tableaux de variations, aux extrema, à la convexité intuitive et aux problèmes d’optimisation.Méthode pas à pas
1Préciser l’ensemble sur lequel la fonction est définie et dérivable.
2Si la question porte sur un point a, calculer f(a), f′(a) et écrire la tangente y=f′(a)(x−a)+f(a).
3Pour dériver une expression, identifier somme, produit, quotient ou composition avant d’appliquer la formule.
4Factoriser f′(x), résoudre f′(x)=0 puis dresser son tableau de signe.
5Déduire les variations et les extrema de f ; dans un problème, vérifier que l’extremum appartient à l’intervalle étudié.
Réflexe : le tableau de variations doit contenir les bornes, les zéros de f′ et les valeurs de f aux points importants.
Exemple expliqué
📝 Étudier f(x)=x+1/x sur ]0;+∞[
f′(x)=1−1/x²=(x²−1)/x²
Sur ]0;+∞[, x²>0 : le signe de f′ est celui de x²−1
f′<0 sur ]0;1[, f′(1)=0, f′>0 sur ]1;+∞[
f décroît puis croît et admet un minimum f(1)=2
Tangente en 1 : y=0×(x−1)+2, donc y=2
Le zéro de la dérivée n’est un extremum que si le signe de f′ change.
À retenir
📌 Nombre dérivé et tangente
- • f′(a)=limₕ→0 [f(a+h)−f(a)]/h lorsqu’elle existe.
- • f′(a) est le coefficient directeur de la tangente en a.
- • Approximation affine près de a : f(a+h)≈f(a)+h f′(a).
📌 Dérivées usuelles
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| k | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| xⁿ | n xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) pour x>0 |
| eˣ | eˣ |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
📌 Opérations
- • (u+v)′=u′+v′ ; (ku)′=ku′.
- • (uv)′=u′v+uv′.
- • (u/v)′=(u′v−uv′)/v² lorsque v≠0.
- • Pour une puissance ou une exponentielle composée : repérer la fonction intérieure et multiplier par sa dérivée.
📌 Dérivée et variations
- • f′>0 : f est croissante ; f′<0 : f est décroissante.
- • Si f′ change de + vers − : maximum local ; de − vers + : minimum local.
- • f′(a)=0 seul ne suffit pas : x↦x³ en 0 est le contre-exemple classique.
📌 Applications
- • Optimisation d’une aire, d’un coût ou d’une distance.
- • Vitesse instantanée : si x(t) est une position, v(t)=x′(t).
- • Lecture graphique : f′(a) se lit comme pente de tangente.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier le carré du dénominateur dans la dérivée d’un quotient.
- • Dériver √u comme 1/(2√x) au lieu de u′/(2√u).
- • Conclure à un extremum uniquement parce que f′(a)=0.
- • Étudier le signe de f′ sur des valeurs où f n’est pas définie.