Mathématiques · Terminale
Suites et récurrence
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Une suite décrit une évolution rang après rang ; la récurrence sert à démontrer qu’une propriété reste vraie pour tous les entiers à partir d’un certain rang.Méthode pas à pas
🔁Étudier une suite définie par récurrence
🧠Rédiger une récurrence
🔁Expliciter une récurrence affine
Exemple expliqué
📝 On définit u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 0,7uₙ + 6. On pose vₙ = uₙ − 20. Déterminer uₙ et étudier son évolution.
Le point fixe de la récurrence vérifie ℓ = 0,7ℓ + 6, donc ℓ = 20. Le choix vₙ = uₙ − 20 est donc naturel.
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 20 = 0,7uₙ + 6 − 20 = 0,7(uₙ − 20) = 0,7vₙ. Ainsi (vₙ) est géométrique de raison 0,7 et v₀ = −18.
On obtient vₙ = −18 × 0,7ⁿ, puis uₙ = 20 − 18 × 0,7ⁿ. Comme 0 < 0,7 < 1, la suite croît vers 20.
À retenir
➕Suites arithmétiques
- •u_{n+1} = u_n + r ; forme explicite u_n = u_p + (n−p)r.
- •Somme de termes consécutifs = nombre de termes × (premier + dernier)/2.
- •Si r > 0 la suite est croissante ; si r < 0 elle est décroissante.
✖️Suites géométriques
- •u_{n+1} = q u_n ; forme explicite u_n = u_p q^{n−p}.
- •Somme : 1+q+…+qⁿ = (1−q^{n+1})/(1−q) pour q ≠ 1.
- •Le comportement dépend du signe et de la valeur absolue de q.
🧭Suites arithmético-géométriques
- •Pour u_{n+1}=a u_n+b avec a≠1, le point fixe est ℓ=b/(1−a).
- •La suite v_n=u_n−ℓ est géométrique de raison a.
- •On obtient u_n=ℓ+(u_0−ℓ)aⁿ ; la limite dépend alors du comportement de aⁿ.
📈Monotonie et bornes
- •Croissante : u_{n+1} ≥ u_n ; décroissante : u_{n+1} ≤ u_n.
- •Majorée : il existe M tel que u_n ≤ M ; minorée : il existe m tel que u_n ≥ m.
- •Toute suite croissante majorée converge ; toute suite décroissante minorée converge.
🧠Récurrence et raisonnement
- •La récurrence prouve une propriété indexée par les entiers.
- •L’hypothèse de récurrence doit être utilisée explicitement dans l’hérédité.
- •Une récurrence peut servir à établir une formule, une inégalité, une monotonie ou une borne.
🎯Point fixe
- •Si u_{n+1} = f(u_n) et u_n converge vers ℓ, avec f continue en ℓ, alors ℓ = f(ℓ).
- •Résoudre ℓ = f(ℓ) donne seulement les limites possibles : la convergence doit être prouvée avant.
- •Une suite monotone non bornée diverge vers +∞ ou −∞ selon son sens de variation.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Confondre les premiers termes calculés avec une preuve de monotonie.
- • Oublier l’initialisation ou ne pas utiliser l’hypothèse de récurrence.
- • Résoudre ℓ = f(ℓ) sans avoir d’abord prouvé que la suite converge.
- • Dire qu’une suite monotone converge sans vérifier qu’elle est bornée.