Énoncés
Exercice 1
On définit u₀=4 et uₙ₊₁=−1/(2+uₙ). Calculer u₁ et u₂, puis conjecturer le signe des termes.
Consulter la correction de l’exercice 1Exercice 2
Pour u₀=2 et uₙ₊₁=0,7uₙ+6, montrer que vₙ=uₙ−20 est géométrique puis exprimer uₙ.
Consulter la correction de l’exercice 2Exercice 3
On suppose 1≤uₙ₊₁≤uₙ pour tout n. Justifier que la suite converge.
Consulter la correction de l’exercice 3Exercice 4
Soit u₀=2,9 et uₙ₊₁=0,5uₙ²−uₙ+1,5. Si la suite converge, déterminer les limites possibles.
Consulter la correction de l’exercice 4Exercice 5
Démontrer par récurrence que 2ⁿ≥n+1 pour tout n∈N.
Consulter la correction de l’exercice 5Exercice 6
Écrire un algorithme qui renvoie le premier rang n tel que uₙ>19,99 pour u₀=2 et uₙ₊₁=0,7uₙ+6.
Consulter la correction de l’exercice 6Corrections
Correction 1
u₁=−1/6 et u₂=−1/(2−1/6)=−6/11. Les premiers termes après u₀ sont négatifs ; une preuve générale demanderait un intervalle stable.
Revenir à l’énoncé 1Correction 2
vₙ₊₁=uₙ₊₁−20=0,7uₙ+6−20=0,7(uₙ−20)=0,7vₙ. Comme v₀=−18, vₙ=−18×0,7ⁿ et uₙ=20−18×0,7ⁿ.
Revenir à l’énoncé 2Correction 3
La suite est décroissante puisque uₙ₊₁≤uₙ, et minorée par 1. Le théorème de convergence monotone assure qu’elle converge.
Revenir à l’énoncé 3Correction 4
Une limite ℓ doit vérifier ℓ=0,5ℓ²−ℓ+1,5, soit ℓ²−4ℓ+3=0. Donc les limites possibles sont 1 et 3. Cela ne prouve pas encore la convergence.
Revenir à l’énoncé 4Correction 5
Initialisation : 2⁰=1≥1. Hérédité : si 2ⁿ≥n+1, alors 2ⁿ⁺¹≥2n+2≥n+2. La propriété est donc vraie pour tout n.
Revenir à l’énoncé 5Correction 6
n=0; u=2; while u<=19.99: n=n+1; u=0.7*u+6; return n. À la sortie, n est le premier rang où le seuil est dépassé.
Revenir à l’énoncé 6