Mathématiques · Terminale
Limites de fonctions
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les limites de fonctions décrivent le comportement d’une courbe près d’un point ou à l’infini et permettent d’identifier des asymptotes.Méthode pas à pas
🔎Déterminer une limite
1Préciser l’endroit étudié : x→a, x→a^+, x→a^−, x→+∞ ou x→−∞.
2Remplacer mentalement par les limites des éléments simples pour repérer une forme déterminée ou indéterminée.
3Transformer si nécessaire : factorisation, terme dominant, quantité conjuguée ou mise au même dénominateur.
4Conclure avec une phrase géométrique si une asymptote est obtenue.
🧩Étudier une forme composée
5Identifier la fonction intérieure u(x) et sa limite.
6Appliquer ensuite la limite de la fonction extérieure, en vérifiant son domaine.
7Pour ln(u(x)) ou exp(u(x)), suivre l’ordre intérieur puis extérieur.
Astuce : Pour une limite en un réel interdit, étudie séparément la droite et la gauche : les signes du dénominateur peuvent changer.
Exemple expliqué
📝 Déterminer la limite en +∞ de f(x) = (2x³−x)/(x²+4).
Le quotient est de forme ∞/∞. On factorise par les plus hautes puissances.
f(x) = x(2−1/x²)/(1+4/x²).
Le second facteur tend vers 2 et x tend vers +∞ : f(x) tend vers +∞. De plus f(x) est équivalente à 2x.
Conclusion : La fonction diverge vers +∞ ; son comportement dominant est celui de 2x.
À retenir
📐Limites et asymptotes
- •Si f(x)→ℓ quand x→±∞, la droite y=ℓ est une asymptote horizontale.
- •Si f(x)→±∞ quand x→a, la droite x=a est une asymptote verticale.
- •Une asymptote oblique y=ax+b peut être étudiée via f(x)−(ax+b)→0.
📚Limites usuelles
- •1/xⁿ → 0 à l’infini ; xⁿ domine les constantes et les degrés inférieurs.
- •eˣ → +∞ en +∞ et eˣ → 0 en −∞.
- •ln(x) → +∞ en +∞ et ln(x) → −∞ en 0^+.
🚀Croissances comparées
- •En +∞, eˣ domine toute puissance xⁿ : xⁿ/eˣ → 0.
- •En +∞, toute puissance positive domine ln(x) : ln(x)/xⁿ → 0.
- •En 0^+, x^α ln(x) → 0 pour α > 0, en particulier x ln(x) → 0.
⚠️Formes indéterminées
- •∞−∞ : regrouper, factoriser ou rationaliser.
- •0×∞ : transformer en quotient.
- •∞/∞ et 0/0 : comparer les termes dominants ou simplifier.
⚖️Comparaison et encadrement
- •Une minoration par une fonction tendant vers +∞ permet de conclure à +∞.
- •Un encadrement par deux fonctions de même limite donne la limite intermédiaire.
- •Les opérations sur les limites ne s’appliquent qu’après vérification des formes.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Ne pas distinguer x→a^+ et x→a^− près d’une valeur interdite.
- • Lire une asymptote verticale alors que la limite est finie.
- • Appliquer une croissance comparée dans le mauvais sens ou au mauvais voisinage.
- • Conclure directement à partir d’une forme indéterminée.