Mathématiques · Terminale
Limites de suites
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La limite d’une suite décrit son comportement lorsque le rang devient très grand : stabilisation vers un réel ou divergence vers l’infini.Méthode pas à pas
♾️Calculer une limite
1Reconnaître une limite de référence : puissances de n, inverse, suite géométrique.
2Appliquer les opérations sur les limites en repérant les formes indéterminées.
3Pour un quotient ou une somme, factoriser par le terme dominant.
4Utiliser comparaison, minoration, majoration ou théorème des gendarmes lorsque le calcul direct ne suffit pas.
🎯Trouver un seuil
5Traduire « à partir de quel rang » par une inégalité portant sur u_n.
6Résoudre l’inégalité en n, en utilisant éventuellement le logarithme.
7Prendre le plus petit entier qui convient et vérifier le rang obtenu.
Astuce : Écris toujours la variable et le sens : lim_{n→+∞} u_n. Une limite n’est pas un simple résultat numérique isolé.
Exemple expliqué
📝 Déterminer la limite de u_n = (5n²−3n+1)/(2n²+n).
La forme ∞/∞ est indéterminée. On divise numérateur et dénominateur par n².
u_n = (5−3/n+1/n²)/(2+1/n).
Comme 1/n et 1/n² tendent vers 0, le quotient tend vers 5/2.
Conclusion : lim_{n→+∞} u_n = 5/2.
À retenir
🎯Définitions intuitives
- •u_n → ℓ : les termes deviennent aussi proches que l’on veut de ℓ à partir d’un certain rang.
- •u_n → +∞ : les termes dépassent toute borne A à partir d’un certain rang.
- •Une suite convergente possède une limite unique et est bornée.
📚Limites de référence
- •1/n^p → 0 pour p > 0 ; n^p → +∞.
- •Si |q| < 1, alors qⁿ → 0 ; si q > 1, qⁿ → +∞.
- •Si q ≤ −1, la suite qⁿ n’a pas de limite finie et oscille en signe.
- •Si |q|<1 et p∈ℕ, alors n^p qⁿ→0 : la décroissance géométrique l’emporte sur toute puissance de n.
🧮Opérations
- •Somme, produit et quotient suivent les règles usuelles lorsque les limites permettent de conclure.
- •Formes indéterminées principales : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞ et 0/0.
- •Une forme indéterminée impose une transformation algébrique avant de conclure.
- •Pour lever une forme indéterminée, on peut aussi utiliser la quantité conjuguée ou transformer une somme géométrique.
⚖️Comparaison
- •Si u_n ≥ v_n et v_n → +∞, alors u_n → +∞.
- •Si u_n ≤ v_n et v_n → −∞, alors u_n → −∞.
- •Si a_n ≤ u_n ≤ b_n et a_n, b_n → ℓ, alors u_n → ℓ.
📈Théorèmes de convergence
- •Suite croissante majorée : convergence vers sa borne supérieure éventuelle.
- •Suite décroissante minorée : convergence.
- •Deux suites adjacentes ont la même limite, même si cette propriété est souvent utilisée en approfondissement.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Écrire ∞/∞ = 1 : c’est une forme indéterminée, pas une règle de calcul.
- • Oublier que qⁿ n’a pas de limite lorsque q ≤ −1.
- • Utiliser le point fixe sans avoir établi la convergence.
- • Confondre « suite bornée » et « suite convergente » : une suite bornée peut osciller.