Mathématiques · 2nde
Fonctions du second degre
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
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Fonctions du second degré
Les fonctions quadratiques f(x) = ax² + bx + c décrivent des paraboles et apparaissent dans les problèmes d'aire, trajectoire et optimisation.
🏔️ Sommet
Δ Discriminant
📐 Racines
Méthode pas à pas
1Identifier a, b, c dans f(x) = ax² + bx + c
2Calculer l'abscisse du sommet : xS = −b / (2a)
3Calculer f(xS) pour obtenir l'ordonnée du sommet (max ou min)
4Calculer le discriminant Δ = b² − 4ac et en déduire le nombre de racines
5Si Δ > 0 : deux racines x = (−b ± √Δ) / (2a) ; si Δ = 0 : une ; si Δ < 0 : aucune
💡
Sens de la parabole : a > 0 → ∪ (minimum) ; a < 0 → ∩ (maximum)
Exemple expliqué
📝 f(x) = x² − 4x + 3
❌ Erreur fréquente
xS = −(−4) / 2 = 4/2 = 2
⬆️ bon… mais sans le 2 au dénominateur → xS = 4 ❌
✅ Bonne méthode
a=1, b=−4, c=3
xS = 4/2 = 2
f(2) = 4−8+3 = −1 (min)
Δ = 16−12 = 4
Racines : 1 et 3 ✅
À retenir
📌 Les 3 cas du discriminant
Δ > 0
2 racines distinctes
Δ = 0
1 racine double
Δ < 0
Aucune racine réelle
📌 Sens de la parabole
a > 0
∪ — minimum en xS
a < 0
∩ — maximum en xS
Erreur à éviter
🚨 Piège classique
- • Oublier le 2 au dénominateur de xS = −b / 2a
- • Confondre minimum et maximum selon le signe de a
- • Calculer Δ = b² + 4ac au lieu de b² − 4ac