Terminale · atelier de raisonnement · sans compte
Récurrence : construire une implication complète
Distinguer observation et preuve, utiliser précisément l’hypothèse de récurrence et conclure sur le domaine.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
Une récurrence prouve une propriété pour tous les entiers à partir d’un rang initial. L’initialisation établit le premier cas. L’hérédité fixe un entier n, suppose la propriété au rang n et en déduit celle au rang n + 1. On n’a pas le droit de supposer d’avance ce qu’il faut montrer au rang suivant. Une vérification numérique, même sur de nombreux termes, peut suggérer la propriété mais ne prouve pas tous les rangs.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- On pose u₀ = 1 et uₙ₊₁ = (uₙ + 6)/2. Montrons uₙ < 6 pour tout n ≥ 0.
- Initialisation : u₀ = 1 < 6.
- Hérédité : si uₙ < 6, alors uₙ + 6 < 12, puis (uₙ + 6)/2 < 6. La division par 2, positive, conserve le sens.
- La propriété est donc vraie pour tout n ≥ 0. Elle permet ensuite d’écrire uₙ₊₁ − uₙ = (6 − uₙ)/2 > 0 : la suite est croissante et majorée, donc convergente.
Une erreur à examiner
« On suppose uₙ < 6 et uₙ₊₁ < 6 ; ainsi l’hérédité est prouvée. »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
La seconde inégalité est la conclusion à démontrer. La supposer rend le raisonnement circulaire. Il faut partir uniquement de l’hypothèse au rang n et utiliser la relation qui définit la suite.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ. Démontre uₙ = 2 × 3ⁿ pour tout n ≥ 0.
Un indice pour avancer
Sépare la vérification du rang 0 et le passage de n à n + 1.
Correction expliquée et vérification
- À n = 0 : 2 × 3⁰ = 2 = u₀.
- Si uₙ = 2 × 3ⁿ, alors uₙ₊₁ = 3uₙ = 3 × 2 × 3ⁿ = 2 × 3ⁿ⁺¹.
- La propriété est initialisée et héréditaire : elle vaut pour tout entier n ≥ 0.
Réponse : uₙ = 2 × 3ⁿ
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
u₀ = 1 et uₙ₊₁ = (uₙ + 4)/2. Prouve uₙ < 4, puis établis le sens de variation et la limite.
Un indice pour avancer
Le signe de uₙ₊₁ − uₙ devient simple une fois la borne prouvée.
Correction expliquée et vérification
- Initialisation : 1 < 4. Si uₙ < 4, alors (uₙ + 4)/2 < 4 : la borne est héréditaire.
- uₙ₊₁ − uₙ = (4 − uₙ)/2 > 0 : la suite est croissante et majorée par 4, donc elle converge.
- Si sa limite est ℓ, la relation affine donne ℓ = (ℓ + 4)/2, donc ℓ = 4. La convergence doit être justifiée avant ce passage à la limite.
Réponse : Croissante ; limite 4
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Prouve que 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² pour tout entier n ≥ 1.
Un indice pour avancer
Pour passer de n à n + 1, identifie exactement le prochain nombre impair.
Correction expliquée et vérification
- À n = 1, la somme vaut 1 = 1².
- En supposant la somme des n premiers impairs égale à n², la suivante vaut n² + (2(n + 1) − 1).
- n² + 2n + 1 = (n + 1)². La propriété vaut donc pour tout n ≥ 1.
Réponse : Somme = n²
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- supposer P(n) et démontrer P(n + 1) — Il faut un passage valable pour un entier n quelconque du domaine, et non pour un exemple isolé.
- Non, cela donne seulement des limites candidates — Il faut établir la convergence et justifier le passage à la limite, par exemple avec la continuité de f au point concerné.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.