Mathématiques · 1re
Suites numeriques
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Une suite décrit une évolution étape par étape : ventes hebdomadaires, capital, population, algorithme itératif… Les ressources travaillent les définitions explicites et par récurrence, les tableurs, les suites arithmétiques et géométriques, les sommes, la monotonie, les seuils et la lecture graphique d’une récurrence.Méthode pas à pas
1Repérer le rang de départ et la manière dont la suite est définie : formule explicite, relation de récurrence, tableau, graphique ou programme.
2Calculer quelques termes sans confondre uₙ et n ; sur tableur, recopier une formule qui utilise la cellule précédente si la suite est récurrente.
3Tester uₙ₊₁−uₙ pour une suite arithmétique ou uₙ₊₁/uₙ pour une suite géométrique.
4Pour la monotonie, étudier uₙ₊₁−uₙ ou comparer uₙ₊₁ à uₙ ; utiliser une récurrence si un encadrement doit être conservé.
5Pour un seuil, traduire la phrase en inégalité et utiliser un calcul, un algorithme while ou une lecture numérique.
Réflexe : toujours écrire ce que représente uₙ dans le contexte et interpréter le rang obtenu.
Exemple expliqué
📝 Suite affine : u₀=65 et uₙ₊₁=0,8uₙ+18
Le point fixe vérifie L=0,8L+18, donc L=90
On pose vₙ=uₙ−90
vₙ₊₁=0,8uₙ+18−90=0,8(uₙ−90)=0,8vₙ
vₙ=(65−90)×0,8ⁿ=−25×0,8ⁿ
Donc uₙ=90−25×0,8ⁿ et uₙ tend vers 90
La transformation vₙ=uₙ−L permet de ramener une récurrence affine à une suite géométrique.
À retenir
📌 Définitions et représentations
- • Explicite : uₙ=f(n), on calcule directement le terme de rang n.
- • Récurrente : uₙ₊₁=f(uₙ), on part du premier terme.
- • Une suite peut être représentée par un tableau, des points (n;uₙ), un tableur ou une construction en escalier.
📌 Suites arithmétiques
- • uₙ₊₁=uₙ+r ; uₙ=u₀+nr.
- • Somme de termes consécutifs = nombre de termes × (premier+dernier)/2.
- • r>0 : croissante ; r<0 : décroissante ; r=0 : constante.
📌 Suites géométriques
- • uₙ₊₁=q uₙ ; uₙ=u₀qⁿ.
- • Si q≠1 : u₀+…+uₙ=u₀(1−qⁿ⁺¹)/(1−q).
- • Pour u₀>0 : q>1 donne une croissance ; 0
📌 Monotonie, limite intuitive et seuil
- • Une suite croissante majorée ou décroissante minorée est candidate à la convergence.
- • Si uₙ=f(uₙ₋₁) et uₙ converge vers L, on cherche souvent L=f(L), sans que cette équation suffise à prouver la convergence.
- • Un seuil est le plus petit entier n vérifiant une condition ; un while est adapté.
📌 Deux suites classiques
- • Factorielle : n!=1×2×…×n, calculée par une boucle.
- • Fibonacci : F₀=0, F₁=1, Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ ; elle illustre une récurrence d’ordre 2.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Utiliser uₙ=u₀+nr pour une suite qui n’est pas arithmétique.
- • Compter n termes au lieu de n+1 dans u₀+…+uₙ.
- • Écrire L=f(L) comme preuve de convergence.
- • Oublier que le rang demandé doit être entier et minimal.