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Terminale · atelier de raisonnement · sans compte

Loi binomiale : modéliser avant d’utiliser la formule

Vérifier les hypothèses, distinguer exactement et au moins, et lire correctement une probabilité de contrôle.

Avant de commencer

Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :

Relire le cours associé

L’idée qui fait la différence

Un modèle binomial compte les succès d’un nombre fixé d’essais de Bernoulli indépendants, ayant tous la même probabilité p de succès. Un tirage sans remise dans une petite population ne satisfait généralement pas ces hypothèses. Si X suit B(n, p), P(X = k) compte exactement k succès. Pour « au moins un », le complément X = 0 évite d’additionner de nombreux cas. Une valeur moyenne np n’est pas un résultat garanti à chaque expérience.

Un cas expliqué, avec sa vérification

  1. Un capteur détecte un défaut avec probabilité 0,2 lors de chacun de 5 essais indépendants identiques. X compte les détections.
  2. X suit B(5 ; 0,2), car le nombre d’essais est fixé, le succès est défini et p reste constant.
  3. P(X = 2) = C(5,2) × 0,2² × 0,8³ = 10 × 0,04 × 0,512 = 0,2048.
  4. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8⁵ = 0,67232. Ce deuxième événement n’est pas « exactement une détection ».

Une erreur à examiner

« Je tire dix cartes sans remise, donc le nombre d’as suit automatiquement une loi binomiale. »

Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?

Comprendre et réparer l’erreur

Après un tirage, la composition du paquet change. Les essais ne conservent pas une même probabilité et ne sont pas indépendants. Le mot « répétition » ne suffit donc pas à justifier le modèle binomial.

Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement

Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.

Étape 1 · Prendre la méthode en main

Exercice 1

X suit B(4 ; 0,5). Calcule P(X = 2) et E(X).

Un indice pour avancer

Le coefficient binomial compte les positions possibles des deux succès.

Correction expliquée et vérification
  1. C(4,2) = 6 et 0,5² × 0,5² = 1/16.
  2. P(X = 2) = 6/16 = 3/8 = 0,375.
  3. E(X) = 4 × 0,5 = 2 ; cela ne veut pas dire que X vaut toujours 2.

Réponse : 3/8 ; espérance 2

Étape 2 · Choisir et expliquer

Exercice 2

Chaque pièce a une probabilité 0,1 de défaut. Pour 8 pièces supposées indépendantes, calcule la probabilité d’au moins un défaut.

Un indice pour avancer

Calcule d’abord la probabilité d’aucun défaut.

Correction expliquée et vérification
  1. La probabilité qu’une pièce soit sans défaut vaut 0,9.
  2. Pour huit pièces indépendantes : P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,43046721.
  3. P(X ≥ 1) = 1 − 0,9⁸ = 0,56953279, soit environ 57,0 %.

Réponse : 0,56953279

Étape 3 · Transférer dans une situation

Exercice 3

Des essais indépendants ont une probabilité 0,2 de succès. Quel nombre minimal d’essais garantit P(au moins un succès) ≥ 0,95 dans ce modèle ?

Un indice pour avancer

Résous 1 − 0,8ⁿ ≥ 0,95, puis contrôle les deux entiers voisins.

Correction expliquée et vérification
  1. Il faut 0,8ⁿ ≤ 0,05. Comme ln(0,8) < 0, la division dans n ln(0,8) ≤ ln(0,05) inverse le sens.
  2. n ≥ ln(0,05)/ln(0,8), soit environ 13,43. Le premier entier possible est 14.
  3. Pour 13 essais, la probabilité vaut environ 0,9450 ; pour 14, environ 0,9560. Le minimum est bien 14.

Réponse : 14 essais

Faire le point sur ta compréhension

Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.

1. Quels éléments doivent rester constants dans le modèle ?
2. P(X > 3) et P(X ≥ 3) diffèrent de…
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
  1. Le nombre total d’essais n et la probabilité p définie pour chaque essai — On fixe n et la probabilité p ; les essais sont indépendants. Le nombre de succès X est justement aléatoire.
  2. P(X = 3) — Le second événement inclut le cas X = 3 que le premier exclut. Pour une variable entière, X > 3 équivaut à X ≥ 4.

Que reprendre ensuite ?

  • Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
  • Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
  • Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.

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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.