Mathématiques · 1re
Probabilités conditionnelles
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les probabilités conditionnelles décrivent une information acquise : « sachant que… ». Les ressources passent des tableaux aux arbres pondérés, puis à la formule des probabilités totales, à l’indépendance et aux successions de quelques épreuves indépendantes.Méthode pas à pas
1Définir clairement les événements et traduire « sachant A » par P_A(B)=P(A∩B)/P(A).
2Choisir un tableau si les données sont des effectifs ou un arbre si l’expérience se déroule en étapes.
3Sur un arbre, multiplier le long d’un chemin pour une intersection et additionner les chemins incompatibles pour un événement.
4Si A₁,…,Aₙ forment une partition, appliquer P(B)=ΣP(Aᵢ)P_Aᵢ(B).
5Tester l’indépendance par P(A∩B)=P(A)P(B) ou P_A(B)=P(B).
Réflexe : une probabilité conditionnelle se lit dans la population restreinte par la condition, pas dans la population totale.
Exemple expliqué
📝 Deux urnes choisies au hasard
P(U₁)=P(U₂)=1/2
P(R|U₁)=3/5 et P(R|U₂)=1/4
P(R)=1/2×3/5 + 1/2×1/4 = 17/40
P(U₁∩R)=3/10
P(U₁|R)=(3/10)/(17/40)=12/17
La dernière question inverse la condition : P(U₁|R) n’est pas P(R|U₁).
À retenir
📌 Conditionnement
- • P_A(B)=P(A∩B)/P(A), avec P(A)>0.
- • Donc P(A∩B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A).
📌 Arbres pondérés
- • La somme des probabilités issues d’un nœud vaut 1.
- • Un chemin correspond à une intersection.
- • Un événement formé de plusieurs chemins se calcule par addition.
📌 Probabilités totales
- • Si A et Ā forment une partition : P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_Ā(B).
- • La formule se généralise à plusieurs branches.
📌 Indépendance
- • A et B indépendants ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B).
- • Si P(A)>0 : indépendance ⇔ P_A(B)=P(B).
- • Indépendance ne signifie pas incompatibilité.
📌 Répétitions indépendantes
- • Pour une suite précise de résultats, multiplier les probabilités.
- • Pour « exactement k succès » sur un petit nombre d’épreuves, compter les chemins correspondants puis les additionner.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Inverser P_A(B) et P_B(A).
- • Additionner les probabilités le long d’un chemin au lieu de les multiplier.
- • Confondre indépendants et incompatibles.
- • Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.