Seconde · atelier de raisonnement · sans compte
Vecteurs : relier calcul et géométrie
Calculer un déplacement, reconnaître un alignement et construire le quatrième sommet d’un parallélogramme.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
Le vecteur AB représente le déplacement de A vers B : ses coordonnées sont celles de B moins celles de A. Il possède une direction, un sens et une longueur ; ce n’est pas un point. Deux vecteurs du plan sont colinéaires si leur déterminant est nul. Pour tester l’alignement de A, B et C, on compare AB et AC, qui ont la même origine : on évite ainsi de mélanger des déplacements mal interprétés.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- A(1 ; 2) et B(5 ; 4) donnent AB = (4 ; 2). Le déplacement ajoute 4 à l’abscisse et 2 à l’ordonnée.
- Pour C(7 ; 5), AC = (6 ; 3). On constate AC = 1,5 AB.
- Les deux déplacements ont la même direction, donc A, B et C sont alignés. C est plus loin que B dans le même sens.
- Avec le déterminant : 4 × 3 − 2 × 6 = 0. Les deux méthodes se confirment et apportent une lecture géométrique.
Une erreur à examiner
« AB = (xA − xB ; yA − yB). »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
Cela calcule BA, le déplacement inverse. Par exemple, de A(1 ; 2) à B(5 ; 4), on va vers la droite et vers le haut : les deux coordonnées doivent être positives. Un croquis de sens permet de détecter cette inversion.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
A(−2 ; 3) et B(4 ; −1). Calcule AB et le milieu I de [AB].
Un indice pour avancer
Un déplacement utilise une différence ; un milieu utilise une moyenne.
Correction expliquée et vérification
- AB = (4 − (−2) ; −1 − 3) = (6 ; −4).
- I = ((−2 + 4)/2 ; (3 − 1)/2) = (1 ; 1).
- A + AB redonne B : (−2 + 6 ; 3 − 4) = (4 ; −1).
Réponse : AB = (6 ; −4) ; I(1 ; 1)
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
A(0 ; 1), B(2 ; 5) et C(3 ; 7) sont-ils alignés ?
Un indice pour avancer
Compare AB et AC par un déterminant.
Correction expliquée et vérification
- AB = (2 ; 4) et AC = (3 ; 6).
- det(AB, AC) = 2 × 6 − 4 × 3 = 0.
- Ils sont alignés ; AC = 1,5 AB donne aussi la même conclusion.
Réponse : Oui
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
A(1 ; 1), B(5 ; 2), C(7 ; 6). Trouve D pour que A, B, C, D soient les sommets successifs d’un parallélogramme.
Un indice pour avancer
Dans cet ordre, AD = BC.
Correction expliquée et vérification
- BC = (7 − 5 ; 6 − 2) = (2 ; 4).
- D = A + BC = (1 + 2 ; 1 + 4) = (3 ; 5).
- Contrôle : AB = (4 ; 1) et DC = (7 − 3 ; 6 − 5) = (4 ; 1).
Réponse : D(3 ; 5)
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- (−4 ; 6) — On multiplie chaque coordonnée par −2. Le sens est inversé et la longueur est multipliée par 2.
- A, B et C ne sont pas alignés — Le déterminant teste la colinéarité, pas la perpendicularité. Une valeur non nulle exclut l’alignement.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.