Seconde · atelier de raisonnement · sans compte
Fonction affine : comprendre le taux et le départ
Construire un modèle affine à partir de deux valeurs, interpréter ses coefficients et comparer deux tarifs.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
Dans f(x) = ax + b, a mesure la variation de f quand x augmente d’une unité ; b est f(0). Le coefficient a est le rapport d’une variation verticale à la variation horizontale correspondante, pas le quotient f(x)/x en général. Une fonction affine n’est proportionnelle que si b = 0. Les unités des coefficients viennent du contexte : euros par kilomètre pour un taux, euros pour un coût de départ.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- Un taxi facture 8 € au départ puis 1,50 € par kilomètre. Pour x kilomètres, le modèle est C(x) = 1,5x + 8, avec x ≥ 0.
- Le coefficient 1,5 décrit un coût par kilomètre ; 8 décrit le coût à distance nulle. Pour 12 km, C(12) = 26 €.
- Entre 12 km et 16 km, la distance augmente de 4 km. Le coût augmente donc de 1,5 × 4 = 6 €, sans payer de nouveau le coût de départ.
- Les points (0 ; 8) et (12 ; 26) déterminent la droite, mais le modèle ne s’utilise ici que pour les distances positives ou nulles.
Un départ fixe et un taux constant
Une erreur à examiner
« La droite passe par (2 ; 7), donc son coefficient directeur vaut 7/2. »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
Un seul point ne suffit pas. La droite y = 2x + 3 passe par ce point, et son coefficient vaut 2. Le quotient 7/2 ne convient que si l’on sait en plus que la droite passe par l’origine. Il faut deux points d’abscisses différentes ou un autre renseignement équivalent.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
Une fonction affine vérifie f(2) = 7 et f(6) = 15. Détermine f(x), puis f(10).
Un indice pour avancer
Utilise les écarts entre les deux points pour trouver le coefficient directeur.
Correction expliquée et vérification
- a = (15 − 7)/(6 − 2) = 8/4 = 2.
- 7 = 2 × 2 + b, donc b = 3 et f(x) = 2x + 3.
- f(10) = 23. Contrôle : f(6) = 12 + 3 = 15.
Réponse : f(x) = 2x + 3 ; f(10) = 23
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
A(x) = 3x + 12 et B(x) = 5x + 4 sont deux tarifs, pour x ≥ 0. Pour quelles valeurs de x le tarif A est-il au plus égal au tarif B ?
Un indice pour avancer
Compare les deux expressions en conservant le domaine.
Correction expliquée et vérification
- 3x + 12 ≤ 5x + 4 équivaut à 8 ≤ 2x.
- Ainsi x ≥ 4. À x = 4, les deux tarifs valent 24.
- Pour x = 5, A vaut 27 et B vaut 29 : ce test confirme le côté de l’inégalité.
Réponse : x ≥ 4
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Une cuve contient 180 L et perd régulièrement 12 L par minute. Écris son volume après t minutes, donne le domaine physique du modèle et l’instant où il reste 60 L.
Un indice pour avancer
Un volume ne peut pas devenir négatif dans ce modèle.
Correction expliquée et vérification
- V(t) = 180 − 12t. La cuve est vide à t = 180/12 = 15 min.
- Le modèle physique s’utilise pour 0 ≤ t ≤ 15.
- 180 − 12t = 60 donne t = 10 min. Après 20 minutes, la formule négative n’est plus physiquement valable.
Réponse : V(t) = 180 − 12t ; 0 ≤ t ≤ 15 ; t = 10
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- La valeur de f pour x = 0 — On remplace x par 0 : f(0) = b. Le zéro de f, s’il existe, est une autre information.
- Négatif — La variation verticale est négative pour une variation horizontale positive : leur quotient est négatif.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.