Seconde · atelier de raisonnement · sans compte
Équations : transformer sans changer les solutions
Résoudre, contrôler une valeur interdite et distinguer une solution candidate d’une solution valable.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
Une transformation équivalente conserve exactement les mêmes solutions. Ajouter la même quantité aux deux membres est réversible. Diviser par une expression contenant x exige de savoir qu’elle n’est pas nulle : sinon, on peut perdre une solution. Avec un quotient, on commence par les valeurs interdites. Dans une inéquation, multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de la comparaison.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- Résolvons 5 − 2x ≥ 11. Soustraire 5 donne −2x ≥ 6.
- On divise ensuite par −2 : le sens change, donc x ≤ −3.
- Le bord x = −3 donne l’égalité 11 = 11. Une valeur du côté retenu, x = −4, donne 13 ≥ 11.
- Une valeur de l’autre côté, x = 0, donne 5 ≥ 11, ce qui est faux. Ces contrôles repèrent un éventuel sens inversé.
Une erreur à examiner
« x(x − 3) = 0 ; je divise par x et j’obtiens seulement x = 3. »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
La division par x suppose x ≠ 0 alors que 0 est précisément une solution. On utilise la règle du produit nul : x = 0 ou x − 3 = 0. L’ensemble des solutions est {0 ; 3}.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
Résous 3(2x − 1) = 5x + 7, puis vérifie ta solution dans l’égalité de départ.
Un indice pour avancer
Développe le membre de gauche et regroupe les termes en x.
Correction expliquée et vérification
- 6x − 3 = 5x + 7, donc x = 10.
- À gauche : 3(20 − 1) = 57. À droite : 50 + 7 = 57.
- La vérification porte sur l’égalité originale, pas seulement sur la dernière ligne.
Réponse : x = 10
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
Résous (x + 2)/(x − 1) = 3.
Un indice pour avancer
Avant de multiplier par x − 1, note la valeur interdite.
Correction expliquée et vérification
- Domaine : x ≠ 1. Pour ces valeurs, x + 2 = 3(x − 1).
- x + 2 = 3x − 3 donne 2x = 5, donc x = 5/2.
- Cette valeur n’est pas interdite. Le quotient vaut (9/2)/(3/2) = 3.
Réponse : x = 5/2
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Un forfait coûte 18 € plus 4 € par séance. On dispose de 50 €. Combien de séances au maximum peut-on payer ?
Un indice pour avancer
Le nombre de séances est un entier positif ou nul.
Correction expliquée et vérification
- 18 + 4n ≤ 50 donne 4n ≤ 32 puis n ≤ 8.
- Avec n entier positif ou nul, le maximum vaut 8.
- Huit séances coûtent 50 € ; neuf coûtent 54 € et dépassent le budget.
Réponse : 8 séances
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- x > −4 — Diviser par −3 inverse le sens. À x = 0, on vérifie bien 0 < 12.
- les valeurs qui annulent au moins un facteur — Un produit vaut zéro si au moins l’un de ses facteurs vaut zéro. On obtient x = 2 ou x = −5.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.