Première · atelier de raisonnement · sans compte
Second degré : choisir la forme utile
Passer d’une forme à l’autre selon la question, traiter un signe et respecter le domaine d’un problème.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
La forme développée permet de lire les coefficients ; la forme canonique expose le sommet et l’extremum ; la forme factorisée permet de lire les racines et le signe. Ces formes décrivent le même polynôme, mais ne rendent pas les mêmes informations immédiates. Pour un trinôme de coefficient dominant positif et de deux racines distinctes, le signe est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. On doit toujours vérifier le coefficient dominant.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- Pour f(x) = x² − 6x + 5, compléter le carré donne f(x) = (x − 3)² − 4.
- La forme canonique montre que le minimum vaut −4 pour x = 3, car un carré est positif ou nul.
- L’identité différence de deux carrés donne (x − 3 − 2)(x − 3 + 2), soit (x − 5)(x − 1).
- Les racines sont 1 et 5. Le coefficient dominant est positif : f est négative entre 1 et 5 et positive à l’extérieur.
Une erreur à examiner
« Un trinôme est toujours positif à l’extérieur de ses racines. »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
C’est faux si le coefficient dominant est négatif. Par exemple, −(x − 1)(x − 3) est négatif pour x = 0 et positif pour x = 2. Il faut tenir compte du facteur placé devant le produit.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
Pour f(x) = 2x² − 8x + 6, donne les formes canonique et factorisée, les racines et le minimum.
Un indice pour avancer
Commence par factoriser 2 et complète le carré à l’intérieur.
Correction expliquée et vérification
- f(x) = 2(x² − 4x + 3) = 2((x − 2)² − 1).
- Donc f(x) = 2(x − 2)² − 2 = 2(x − 1)(x − 3).
- Racines : 1 et 3. Minimum : −2, atteint pour x = 2.
Réponse : Racines 1 et 3 ; minimum −2
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
Résous −x² + 4x − 3 ≥ 0.
Un indice pour avancer
Factorise en faisant apparaître le signe moins.
Correction expliquée et vérification
- −x² + 4x − 3 = −(x − 1)(x − 3).
- Le produit (x − 1)(x − 3) est négatif ou nul sur [1 ; 3].
- Son opposé est donc positif ou nul sur [1 ; 3]. Les deux bornes sont incluses.
Réponse : [1 ; 3]
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Un rectangle de périmètre 20 cm a un côté de longueur x. Exprime son aire et trouve son maximum, en précisant le domaine.
Un indice pour avancer
Les deux dimensions sont x et 10 − x.
Correction expliquée et vérification
- Pour un rectangle non aplati, 0 < x < 10. Son aire vaut A(x) = x(10 − x).
- A(x) = 25 − (x − 5)² ≤ 25.
- Le maximum vaut 25 cm², atteint pour x = 5 cm : le rectangle est un carré.
Réponse : 25 cm² pour x = 5
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- un minimum égal à 3 pour x = 4 — Le carré est toujours positif ou nul. Le trinôme est donc au moins égal à 3, sans racine réelle.
- celui du coefficient dominant — Il n’y a pas de racine réelle ni de changement de signe. Un trinôme reste du signe de son coefficient dominant.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.