Première · atelier de raisonnement · sans compte
Probabilités conditionnelles : choisir la population de référence
Construire un arbre, calculer une probabilité totale et remonter une condition sans inverser les événements.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
P(A|B) se lit « probabilité de A sachant B » : on ne regarde plus que les cas où B se produit. Le dénominateur est alors P(B), supposé non nul. Cette quantité diffère généralement de P(B|A). Dans un arbre, on multiplie le long d’un chemin ; on additionne des chemins disjoints pour obtenir un événement total. Les probabilités qui partent d’un même nœud doivent totaliser 1.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- Une usine utilise les machines A (60 % des pièces) et B (40 %). Les taux de défaut sont 2 % pour A et 5 % pour B.
- P(A ∩ D) = 0,6 × 0,02 = 0,012 ; P(B ∩ D) = 0,4 × 0,05 = 0,020.
- La probabilité totale de défaut est P(D) = 0,012 + 0,020 = 0,032.
- Parmi les pièces défectueuses, la part provenant de B vaut 0,020/0,032 = 0,625, soit 62,5 %. Cela ne signifie pas que 62,5 % des pièces de B sont défectueuses.
Deux chemins disjoints vers le défaut
Une erreur à examiner
« Si 90 % des malades ont un test positif, alors 90 % des personnes positives sont malades. »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
On a inversé la condition. Le second pourcentage dépend aussi de la fréquence de la maladie et des faux positifs. Un tableau d’effectifs sur une population fictive permet de garder visibles les bons dénominateurs.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
P(A) = 0,3 et P(B|A) = 0,8. Calcule P(A ∩ B).
Un indice pour avancer
Le chemin passe d’abord par A, puis par B sous la condition A.
Correction expliquée et vérification
- P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).
- 0,3 × 0,8 = 0,24.
- L’intersection est au plus égale à P(A) : 0,24 ≤ 0,3.
Réponse : 0,24
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
On a P(A) = 0,4, P(B|A) = 0,7 et P(B|non A) = 0,2. Calcule P(B), puis P(A|B).
Un indice pour avancer
Sépare les chemins A puis B et non A puis B.
Correction expliquée et vérification
- P(A ∩ B) = 0,4 × 0,7 = 0,28 ; P(non A ∩ B) = 0,6 × 0,2 = 0,12.
- P(B) = 0,28 + 0,12 = 0,40.
- P(A|B) = 0,28/0,40 = 0,70. Le dénominateur est la probabilité de la condition B.
Réponse : P(B) = 0,4 ; P(A|B) = 0,7
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Un défaut concerne 1 % d’une population. Un test est positif pour 90 % des cas avec défaut et 5 % des cas sans défaut. Sur 10 000 cas, combien de tests sont positifs ? Quelle proportion des positifs présente le défaut ?
Un indice pour avancer
Traduis tous les pourcentages en effectifs avant de diviser.
Correction expliquée et vérification
- 100 cas ont le défaut : 90 tests positifs. Parmi les 9 900 sans défaut, 495 tests sont positifs.
- Il y a donc 90 + 495 = 585 positifs.
- La proportion recherchée vaut 90/585 = 2/13, soit environ 15,4 %. Ce modèle fictif illustre un calcul, pas une recommandation médicale.
Réponse : 585 positifs ; 2/13 avec défaut
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) — La population de référence est B, donc le dénominateur est P(B).
- P(B|A) = P(B) — Savoir A ne modifie pas la probabilité de B. L’intersection vaut P(A)P(B), pas une somme.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.