Première · atelier de raisonnement · sans compte
Dérivation : passer du taux local aux variations
Calculer une tangente, construire une étude de variations et repérer les limites d’un test de dérivée.
Avant de commencer
Prends une feuille. Essaie les exercices avant d’ouvrir un indice, puis compare ton raisonnement à la correction. Tu peux reprendre une notion ici :
L’idée qui fait la différence
La dérivée f′(a) donne le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a. Son signe sur un intervalle permet d’étudier les variations de f. Une valeur f′(a) = 0 donne une tangente horizontale, mais ne garantit pas un extremum : pour x³, la dérivée s’annule en 0 sans changer de signe. On distingue soigneusement le signe de f, qui indique sa position par rapport à l’axe, et le signe de f′, qui indique sa variation.
Un cas expliqué, avec sa vérification
- Pour f(x) = x² − 4x + 1, f′(x) = 2x − 4. La dérivée s’annule en 2.
- Elle est négative avant 2 et positive après 2 : f décroît puis croît. Son minimum vaut f(2) = −3.
- Au point d’abscisse 1, f(1) = −2 et f′(1) = −2. La tangente a pour équation y = −2(x − 1) − 2, donc y = −2x.
- Contrôle : la tangente passe par (1 ; −2). Une équation de tangente doit satisfaire à la fois la pente et le passage par le point.
Une erreur à examiner
« Si f′ est positive, alors f est positive. »
Avant de lire la suite : où le raisonnement cesse-t-il d’être valable ?
Comprendre et réparer l’erreur
f(x) = x − 100 a une dérivée égale à 1 partout, mais f(0) = −100. Une dérivée positive signifie que la fonction augmente, pas que ses valeurs sont au-dessus de zéro.
Trois exercices pour passer du calcul au raisonnement
Un résultat seul ne suffit pas : justifie l’opération, précise les conditions et vérifie la réponse dans le contexte.
Étape 1 · Prendre la méthode en main
Exercice 1
Pour f(x) = x² + 3x − 2, détermine la tangente au point d’abscisse 2.
Un indice pour avancer
Calcule séparément la valeur de la fonction et celle de sa dérivée en 2.
Correction expliquée et vérification
- f(2) = 4 + 6 − 2 = 8.
- f′(x) = 2x + 3, donc f′(2) = 7.
- y = 7(x − 2) + 8 = 7x − 6. À x = 2, cette droite donne bien 8.
Réponse : y = 7x − 6
Étape 2 · Choisir et expliquer
Exercice 2
Étudie les variations de g(x) = x³ − 3x sur ℝ et donne ses extrema locaux.
Un indice pour avancer
Factorise g′(x).
Correction expliquée et vérification
- g′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
- Le signe est positif avant −1, négatif entre −1 et 1, positif après 1.
- g croît, décroît, puis croît. Maximum local g(−1) = 2 ; minimum local g(1) = −2. Ce ne sont pas des extrema globaux sur ℝ.
Réponse : Maximum local 2 ; minimum local −2
Étape 3 · Transférer dans une situation
Exercice 3
Pour x > 0, un coût moyen est C(x) = x + 16/x. Trouve son minimum.
Un indice pour avancer
Mets la dérivée sur un dénominateur positif.
Correction expliquée et vérification
- C′(x) = 1 − 16/x² = (x − 4)(x + 4)/x².
- Sur x > 0, x + 4 et x² sont positifs. Le signe est donc celui de x − 4.
- C décroît jusqu’à 4 puis croît. C(4) = 4 + 4 = 8 est son minimum.
Réponse : 8 pour x = 4
Faire le point sur ta compréhension
Ces deux questions vérifient une idée précise, sans note ni enregistrement de tes réponses. Si tu hésites, reprends le passage indiqué dans l’explication.
Lire les deux corrections sans questionnaire interactif
- passer par (a ; f(a)) et avoir pour pente f′(a) — Ces deux premières conditions définissent la droite tangente. Une courbe peut la recouper ailleurs.
- La tangente est horizontale ; un extremum n’est pas garanti. — La dérivée 3x² reste positive de part et d’autre de 0. La fonction continue à croître.
Que reprendre ensuite ?
- Si le calcul bloque, reprends le prérequis puis refais l’exercice 1.
- Si tu trouves le résultat sans pouvoir l’expliquer, réécris le cas expliqué avec tes propres mots, puis refais l’exercice 2.
- Si tout est clair, ferme les corrections et refais l’exercice 3 le lendemain en justifiant chaque étape.
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Contenu d’entraînement GoMathy, préparé avec assistance numérique. Il ne s’agit pas d’un sujet officiel d’examen. Sources et méthode éditoriale. Dernière révision de cet atelier : 18 octobre 2026.