Mathématiques · Terminale
Vecteurs et produit scalaire dans l'espace
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La géométrie vectorielle dans l’espace permet de décrire droites, plans, bases et orthogonalité à l’aide de combinaisons linéaires et du produit scalaire.Méthode pas à pas
🧊Étudier une configuration vectorielle
1Choisir une origine et une base adaptée au solide ou au repère.
2Exprimer les vecteurs utiles comme combinaisons linéaires des vecteurs de base.
3Tester colinéarité, coplanarité ou appartenance en résolvant les égalités de coordonnées.
4Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
📐Utiliser le produit scalaire
5Écrire les coordonnées des deux vecteurs dans un repère orthonormé.
6Calculer u·v = xx'+yy'+zz'.
7Pour une orthogonalité, montrer que u·v=0 ; pour un angle, utiliser cos θ=(u·v)/(||u||||v||).
8Pour une distance, utiliser la norme ou une projection orthogonale.
Astuce : Dans l’espace, une figure en perspective peut tromper : appuie chaque conclusion de parallélisme ou d’orthogonalité sur un calcul ou une propriété.
Exemple expliqué
📝 Dans un repère orthonormé, u=(1,2,−1) et v=(2,−1,0). Montrer que u et v sont orthogonaux.
u·v=1×2+2×(−1)+(−1)×0.
u·v=2−2+0=0.
Deux vecteurs non nuls de produit scalaire nul sont orthogonaux.
Conclusion : u⊥v.
À retenir
🧭Vecteurs de l’espace
- •Deux vecteurs sont égaux s’ils ont mêmes direction, sens et norme.
- •Combinaison linéaire : a u+b v, ou a u+b v+c w.
- •Deux vecteurs non nuls colinéaires ont des coordonnées proportionnelles.
📍Bases et repères
- •Deux vecteurs non colinéaires engendrent une direction de plan.
- •Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace.
- •Dans une base, chaque vecteur possède une décomposition unique.
✖️Produit scalaire
- •u·v=||u||||v||cos θ et u·v=v·u.
- •Bilinérarité : (a u+b v)·w=a(u·w)+b(v·w).
- •Dans un repère orthonormé : u·v=xx'+yy'+zz' et u·u=||u||².
- •Identité : ||u+v||²=||u||²+2u·v+||v||² ; donc 2u·v=||u+v||²−||u||²−||v||².
⊥Orthogonalité
- •u⊥v ⇔ u·v=0.
- •Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
- •Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est normal au plan.
📏Distances
- •AB=√[(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²+(z_B−z_A)²].
- •Le projeté H de M sur une droite D de vecteur directeur u vérifie H∈D et MH·u=0 ; la distance de M à D est MH.
- •Le projeté H de M sur un plan P est sur P et MH est normal à P ; la distance de M à P est MH.
- •Une projection orthogonale fournit le point de la droite ou du plan le plus proche de M.
📍Lieux géométriques
- •Le plan médiateur de [AB] est l’ensemble des points M tels que MA=MB.
- •Il passe par le milieu de [AB] et possède AB pour vecteur normal.
- •Une égalité de distances peut donc se traduire par une équation de plan.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Déduire une orthogonalité de la seule apparence de la figure.
- • Confondre vecteur directeur d’une droite et vecteur normal d’un plan.
- • Tester la colinéarité en oubliant une coordonnée.
- • Utiliser la formule du produit scalaire en coordonnées dans un repère non orthonormé.