Mathématiques · Terminale
Droites et plans dans l'espace
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les représentations paramétriques de droites et les équations cartésiennes de plans transforment les problèmes de géométrie dans l’espace en systèmes algébriques.Méthode pas à pas
📡Construire les équations
1Droite : choisir un point A(x_A,y_A,z_A) et un vecteur directeur u(a,b,c), puis écrire x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct.
2Plan : choisir un point A et un vecteur normal n(a,b,c), puis écrire a(x−x_A)+b(y−y_A)+c(z−z_A)=0.
3Développer si une équation cartésienne ax+by+cz+d=0 est demandée.
4Vérifier qu’un point satisfait bien les trois équations de la droite ou l’équation du plan.
🔎Étudier une position relative
5Deux droites : comparer leurs vecteurs directeurs, puis résoudre les représentations paramétriques si elles ne sont pas parallèles.
6Droite-plan : calculer u·n ; s’il est non nul, ils sont sécants, sinon la droite est parallèle ou incluse.
7Deux plans : comparer leurs vecteurs normaux ; s’ils ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants selon une droite.
8Toujours vérifier les paramètres ou les coordonnées obtenus dans toutes les équations et nommer précisément la position relative.
🌐Étudier droite et sphère
9Écrire l’équation de la sphère à partir de son centre et de son rayon.
10Substituer les coordonnées paramétriques de la droite dans cette équation.
11Résoudre l’équation en t, puis calculer les coordonnées des points correspondants.
12Interpréter le nombre de solutions géométriquement.
Astuce : Dans un système d’intersection, le paramètre trouvé doit être réinjecté dans toutes les coordonnées avant de donner le point final.
Exemple expliqué
📝 Déterminer l’intersection de la droite D : x=1+t, y=2−t, z=t et du plan P : x+y+z=4.
On remplace les coordonnées de D dans l’équation du plan : (1+t)+(2−t)+t=4.
3+t=4, donc t=1.
Le point correspondant est I(2,1,1), qui vérifie bien 2+1+1=4.
Conclusion : D∩P={I(2,1,1)}.
À retenir
📡Droite paramétrique
- •D passant par A et dirigée par u(a,b,c) : M∈D ⇔ AM=t u.
- •Donc x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct avec t∈ℝ.
- •Deux représentations différentes peuvent décrire la même droite.
🧱Plan cartésien
- •P : ax+by+cz+d=0 possède pour vecteur normal n=(a,b,c).
- •Le plan passant par A et normal à n vérifie n·AM=0.
- •Un point appartient au plan si ses coordonnées vérifient l’équation.
🛤️Positions de deux droites
- •Si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues.
- •Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, on résout le système formé par les deux représentations paramétriques.
- •Une solution commune donne des droites sécantes ; aucune solution donne des droites gauches, c’est-à-dire non coplanaires.
↗️Positions droite-plan
- •u·n≠0 : la droite et le plan sont sécants.
- •u·n=0 : la droite est parallèle au plan ; elle est incluse si un de ses points appartient au plan.
- •L’intersection se trouve en remplaçant x,y,z du plan par les expressions paramétriques.
📐Positions de deux plans
- •Normaux colinéaires : plans parallèles ou confondus.
- •Normaux non colinéaires : plans sécants selon une droite.
- •Pour déterminer la droite d’intersection, résoudre le système des deux équations avec un paramètre libre.
⊥Projection orthogonale
- •Pour projeter M sur un plan P, prendre la droite passant par M et dirigée par un normal n à P.
- •Son intersection H avec P est le projeté orthogonal.
- •La distance de M à P est MH.
🔭Approfondissement : sphères
- •La sphère de centre C(a,b,c) et de rayon R a pour équation (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
- •Pour étudier l’intersection d’une droite et d’une sphère, on remplace x,y,z par la représentation paramétrique de la droite.
- •L’équation obtenue en t peut avoir 0, 1 ou 2 solutions : droite extérieure, tangente ou sécante.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Prendre les coefficients d’un plan pour un vecteur directeur au lieu d’un vecteur normal.
- • Oublier le paramètre t∈ℝ dans une représentation paramétrique.
- • Conclure que u·n=0 signifie que la droite est incluse : elle peut être seulement parallèle.
- • Donner un point d’intersection sans vérifier toutes les équations.