Mathématiques · 1re
Variables aléatoires et simulation
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d’une expérience : gain, nombre de réponses, distance… Le corpus introduit la loi de probabilité, l’espérance, la variance et l’écart-type, puis les met en relation avec des simulations et l’interprétation à long terme.Méthode pas à pas
1Décrire l’univers et définir précisément la variable X.
2Lister les valeurs xᵢ possibles et calculer P(X=xᵢ) ; vérifier que la somme vaut 1.
3Calculer E(X)=Σxᵢpᵢ puis interpréter cette moyenne théorique dans le contexte.
4Calculer V(X)=Σxᵢ²pᵢ−E(X)² et σ(X)=√V(X).
5Pour une simulation, répéter l’expérience, stocker les résultats, calculer les fréquences ou la moyenne et comparer à la théorie.
Réflexe : une espérance n’est pas forcément une valeur que X peut réellement prendre : c’est une moyenne à long terme.
Exemple expliqué
📝 Jeu : +5 € sur pile, −2 € sur face, pièce équilibrée
X prend les valeurs 5 et −2 avec probabilités 1/2 et 1/2
E(X)=5×1/2−2×1/2=1,5 €
E(X²)=25×1/2+4×1/2=14,5
V(X)=14,5−1,5²=12,25 ; σ(X)=3,5
Le jeu est favorable au joueur en moyenne, mais une partie reste aléatoire
Pour tester expérimentalement, on simule beaucoup de parties et on observe la moyenne des gains.
À retenir
📌 Loi de probabilité
- • Une loi associe à chaque valeur xᵢ la probabilité pᵢ=P(X=xᵢ).
- • Chaque pᵢ est compris entre 0 et 1 et Σpᵢ=1.
📌 Indicateurs
- • E(X)=Σxᵢpᵢ : valeur moyenne théorique.
- • V(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ=E(X²)−E(X)².
- • σ(X)=√V(X) mesure la dispersion dans l’unité de X.
📌 Transformations
- • E(aX+b)=aE(X)+b.
- • V(aX+b)=a²V(X).
- • σ(aX+b)=|a|σ(X).
📌 Simulation
- • Une simulation produit des résultats pseudo-aléatoires.
- • Quand le nombre de répétitions augmente, les fréquences et moyennes ont tendance à se stabiliser autour des valeurs théoriques.
- • Une expérience ne prouve pas une formule, mais elle permet de conjecturer et de contrôler.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier de regrouper les issues donnant la même valeur de X.
- • Calculer V(X) comme E(X²)−E(X) au lieu de E(X²)−E(X)².
- • Interpréter E(X) comme un gain garanti.
- • Comparer théorie et simulation sur un échantillon trop petit sans prudence.