Mathématiques · 1re
Produit scalaire
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Le produit scalaire permet de calculer une longueur ou un angle, de prouver une orthogonalité et d’écrire des équations de droites et de cercles. Les ressources l’utilisent dans des figures, des coordonnées, des problèmes de visibilité et des configurations de triangles.Méthode pas à pas
1Choisir la formule selon les données : coordonnées, longueurs/angle ou décomposition de vecteurs.
2Calculer le produit scalaire avec précision et simplifier les normes.
3Pour prouver une perpendicularité, montrer que le produit scalaire est nul.
4Pour calculer un angle, utiliser cos θ=(u·v)/(||u||||v||) et vérifier que les normes sont non nulles.
5Dans un triangle, traduire les vecteurs à partir d’un même sommet avant d’appliquer Al-Kashi ou une identité.
Réflexe : toujours préciser quels sont les deux vecteurs comparés ; un produit scalaire n’est pas un produit de longueurs sans angle.
Exemple expliqué
📝 Triangle A(0;0), B(4;1), C(1;3)
AB=(4;1) et AC=(1;3)
AB·AC=4×1+1×3=7
||AB||=√17 et ||AC||=√10
cos(BÂC)=7/√170
Comme le produit scalaire est positif, l’angle BÂC est aigu
Pour démontrer que le triangle est rectangle en A, il aurait fallu obtenir AB·AC=0.
À retenir
📌 Trois expressions équivalentes
- • u·v=||u||||v||cos θ.
- • Dans un repère orthonormé : (x;y)·(x′;y′)=xx′+yy′.
- • u·v=[||u+v||²−||u||²−||v||²]/2.
📌 Orthogonalité
- • u⊥v ⇔ u·v=0 lorsque u et v sont non nuls.
- • Dans un triangle ABC, AB·AC=0 ⇔ triangle rectangle en A.
- • Un vecteur normal à une droite est orthogonal à tout vecteur directeur.
📌 Relations métriques
- • Al-Kashi : a²=b²+c²−2bc cos A.
- • Médiane : les identités de vecteurs permettent de retrouver des longueurs.
- • Projection orthogonale : si H est projeté de A sur une droite, AH est perpendiculaire à cette droite.
📌 Lecture du signe
- • u·v>0 : angle aigu.
- • u·v=0 : angle droit.
- • u·v<0 : angle obtus.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Calculer xx′−yy′ au lieu de xx′+yy′.
- • Utiliser des coordonnées dans un repère non orthonormé sans justification.
- • Écrire cos θ=u·v sans diviser par les normes.
- • Confondre vecteur normal et vecteur directeur.