Mathématiques · 1re
Géométrie analytique
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
La géométrie analytique traduit des figures en équations. Le corpus travaille les vecteurs directeurs et normaux, les équations cartésiennes et paramétriques de droites, les médiatrices, les cercles, les tangentes, les intersections et une situation de localisation par plusieurs cercles.Méthode pas à pas
1Transformer les points en vecteurs : AB=(xB−xA ; yB−yA).
2Pour une droite, choisir un vecteur directeur u ou un vecteur normal n selon la forme recherchée.
3Écrire l’équation et vérifier qu’un point connu la satisfait.
4Pour une intersection, résoudre le système des deux équations ; pour un cercle, exploiter (x−a)²+(y−b)²=r².
5Conclure géométriquement : parallélisme, perpendicularité, tangence, appartenance ou nombre de points d’intersection.
Réflexe : une équation n’est fiable que si elle est testée avec au moins un point de la figure.
Exemple expliqué
📝 Droite passant par A(2;−1) et normale à n=(3;−2)
Une équation est 3(x−2)−2(y+1)=0
Donc 3x−2y−8=0
Le vecteur directeur u=(2;3) est orthogonal à n car 3×2+(−2)×3=0
Le point A vérifie 3×2−2×(−1)−8=0
La forme a(x−xA)+b(y−yA)=0 évite de chercher immédiatement la constante c.
À retenir
📌 Droites
- • Vecteur directeur u=(p;q) : représentation paramétrique x=xA+pt, y=yA+qt.
- • Vecteur normal n=(a;b) : équation ax+by+c=0.
- • Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
📌 Médiatrice et projection
- • La médiatrice de [AB] est l’ensemble des points équidistants de A et B.
- • Elle passe par le milieu de [AB] et est perpendiculaire à (AB).
- • Le projeté orthogonal H d’un point A sur une droite vérifie H sur la droite et AH perpendiculaire à la droite.
📌 Cercles
- • Centre Ω(a;b), rayon r : (x−a)²+(y−b)²=r².
- • Forme développée : x²+y²+ux+vy+w=0, à remettre sous forme canonique.
- • La tangente au cercle en A est perpendiculaire au rayon ΩA.
📌 Intersections et localisation
- • Droite/droite : résoudre un système linéaire.
- • Droite/cercle : substituer puis résoudre une équation du second degré.
- • Plusieurs cercles peuvent modéliser une triangulation : les points communs sont les positions possibles.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Prendre AB=(xA−xB ; yA−yB) puis changer de convention en cours de calcul.
- • Confondre ax+by+c=0 avec un vecteur directeur (a;b) : (a;b) est normal.
- • Oublier de vérifier les solutions après une substitution dans un cercle.
- • Développer un cercle sans reconnaître les carrés complets.