Mathématiques · Terminale
Algorithmique et Python
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
L’algorithmique en Terminale sert à expérimenter, simuler et approcher des résultats : seuils, dichotomie, suites, probabilités et équations différentielles.Méthode pas à pas
💻Construire un algorithme
1Identifier les données d’entrée, le résultat attendu et la condition d’arrêt.
2Choisir les variables et les initialiser avant la boucle.
3Écrire la boucle while pour un nombre d’itérations inconnu, ou for pour un nombre fixé.
4Tester sur un cas simple et vérifier les valeurs intermédiaires.
🎲Simuler et interpréter
5Générer une expérience aléatoire avec random puis répéter un grand nombre de fois.
6Compter les succès et calculer une fréquence.
7Comparer la simulation à la valeur théorique sans confondre fréquence observée et probabilité.
8Faire varier la taille pour observer la stabilisation.
🧩Écrire une fonction fiable
9Préciser les paramètres d’entrée et le résultat que la fonction doit renvoyer.
10Choisir un nom explicite et limiter la fonction à une tâche.
11Tester les cas simples, les cas limites et les valeurs interdites.
12Appeler la fonction depuis le programme principal au lieu de recopier le même code.
Astuce : Une boucle while doit faire progresser une variable vers la condition d’arrêt ; sinon elle peut devenir infinie.
Exemple expliqué
📝 Écrire le principe d’un algorithme trouvant le plus petit n tel que u_n≥100 pour u_0=2 et u_{n+1}=1,2u_n+1.
Initialiser n=0 et u=2.
Tant que u<100 : remplacer u par 1,2u+1 puis n par n+1.
À la sortie, n est le premier rang vérifiant u_n≥100.
Conclusion : La condition est testée avant chaque nouvelle itération, ce qui garantit le premier rang.
À retenir
🐍Structures Python
- •Affectation : x = valeur ; condition : if / elif / else.
- •Boucle bornée : for k in range(n).
- •Boucle conditionnelle : while condition, avec mise à jour dans la boucle.
🧩Fonctions et programmation modulaire
- •Une fonction Python est définie avec def, reçoit éventuellement des paramètres et renvoie un résultat avec return.
- •Découper un problème en fonctions courtes évite les répétitions et rend les tests plus simples.
- •Une variable créée dans une fonction est locale, sauf choix explicite contraire.
📋Listes
- •Une liste se crée avec [ ], sa longueur est len(L) et ses indices commencent à 0.
- •On peut parcourir les valeurs avec for x in L ou les indices avec for i in range(len(L)).
- •append ajoute un élément ; on peut aussi générer une liste par ajouts successifs ou par compréhension.
🔁Suites et seuils
- •Pour calculer u_n, initialiser u puis répéter la relation de récurrence n fois.
- •Pour chercher le premier rang où u dépasse A, boucler tant que u≤A.
- •Conserver simultanément le rang n et la valeur u.
✂️Dichotomie
- •Choisir [a,b] contenant une unique solution.
- •Calculer m=(a+b)/2 puis conserver la moitié où la condition de signe est satisfaite.
- •Arrêter lorsque b−a est inférieur à la précision.
🎲Simulation probabiliste
- •random() renvoie un réel uniforme dans [0,1[.
- •Un succès de probabilité p peut être simulé par random()<p.
- •La fréquence est compteur/nombre_de_répétitions.
📈Méthode d’Euler et intégration
- •Euler : y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n).
- •Sommes de rectangles ou de trapèzes pour approcher une intégrale.
- •Les algorithmes donnent des approximations : il faut contrôler pas, précision et condition d’arrêt.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Oublier d’initialiser une variable utilisée dans la boucle.
- • Ne pas mettre à jour la variable de contrôle d’une boucle while.
- • Décaler le rang d’une suite d’une unité en mettant n à jour au mauvais moment.
- • Prendre une simulation pour une démonstration exacte.