Mathématiques · Terminale
Maths expertes : Graphes et matrices
Comprendre la notion, suivre une méthode et étudier un exemple corrigé.
Comprendre la notion
Les graphes modélisent des réseaux et les matrices organisent les calculs associés, notamment pour les systèmes, les suites vectorielles et les chaînes de Markov.Méthode pas à pas
🕸️Étudier un graphe
1Identifier sommets, arêtes, orientation et éventuels poids.
2Calculer les degrés et vérifier la connexité ou l’existence de chemins.
3Construire la matrice d’adjacence dans l’ordre de sommets choisi.
4Interpréter les coefficients de Aⁿ comme des nombres de chaînes de longueur n.
🔢Utiliser une matrice
5Vérifier les dimensions avant une somme ou un produit.
6Pour AB, multiplier chaque ligne de A par chaque colonne de B.
7Pour une suite U_{n+1}=AU_n+C, calculer les premiers termes ou chercher un état d’équilibre.
8Pour une chaîne de Markov, écrire π_n=π_0Pⁿ et rechercher éventuellement une distribution invariante π vérifiant πP=π.
Astuce : L’ordre des sommets fixe l’ordre des lignes et des colonnes : note-le avant de construire ou lire une matrice d’adjacence.
Exemple expliqué
📝 Un graphe orienté possède la matrice d’adjacence A=[[0,1],[1,1]]. Interpréter le coefficient (1,2) de A².
A²=[[1,1],[1,2]].
Le coefficient situé ligne 1, colonne 2 vaut 1.
Il compte le nombre de chaînes de longueur 2 allant du sommet 1 au sommet 2.
Conclusion : Il existe exactement une chaîne de longueur 2 du sommet 1 vers le sommet 2.
À retenir
🕸️Vocabulaire des graphes
- •Un graphe possède des sommets et des arêtes ; son ordre est le nombre de sommets et le graphe complet relie chaque paire de sommets.
- •Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes ; dans un graphe orienté, on distingue entrants et sortants.
- •Une chaîne est une suite d’arêtes consécutives ; un graphe est connexe si tout couple de sommets est relié.
🔢Matrices
- •Une matrice est un tableau de nombres ; sa taille est nombre de lignes × nombre de colonnes.
- •Addition et multiplication par un scalaire se font coefficient par coefficient.
- •Le produit AB est défini si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B.
🧭Modélisations matricielles
- •Une matrice peut représenter une transformation géométrique du plan, un système linéaire ou une suite récurrente.
- •Une matrice colonne rassemble les inconnues ou l’état d’un système ; une matrice ligne peut représenter une distribution de probabilités.
- •Le choix du modèle et l’ordre des coordonnées ou des états doivent être indiqués avant tout calcul.
🔗Matrice d’adjacence
- •a_{ij} indique le nombre d’arêtes allant du sommet i vers le sommet j.
- •Pour un graphe non orienté simple, la matrice est symétrique.
- •Le coefficient (i,j) de Aⁿ compte les chaînes de longueur n allant de i à j.
🧮Inverse et systèmes
- •La matrice identité I vérifie AI=IA=A.
- •Si A est inversible, AX=B ⇔ X=A^{−1}B.
- •Pour une matrice 2×2, l’inversibilité dépend du déterminant ad−bc non nul.
- •Les puissances Aⁿ se calculent par produits successifs, diagonalisation éventuelle ou relation de récurrence adaptée au problème.
🔁Suites et chaînes de Markov
- •Une suite de colonnes peut vérifier U_{n+1}=AU_n+C ; un état stable L vérifie L=AL+C.
- •Pour une chaîne de Markov de matrice de transition P et distribution ligne initiale π_0, on a π_n=π_0Pⁿ.
- •Une distribution invariante π vérifie πP=π, avec des coefficients positifs ou nuls dont la somme vaut 1.
Erreur à éviter
🚨 Pièges classiques
- • Multiplier les matrices coefficient par coefficient au lieu de ligne par colonne.
- • Changer l’ordre des sommets entre le graphe et la matrice.
- • Oublier que le produit matriciel n’est pas commutatif : AB peut différer de BA.
- • Confondre A² avec le carré de chacun des coefficients.